100⁰

A B C 0 H D

Vẽ đường kính AD và $AH\perp BC\left(H\in BC\right)$.

Ta có \(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \backslash (\backslash widehat\{ACD\}\backslash )={90}^0$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADC$ có:

$\backslash (\backslash widehat\{AHB\}\backslash )=\backslash (\backslash widehat\{ACD\}\backslash )={90}^0$;

 \(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC);

$\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta ADC\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow \frac{5}{15}=\frac{8}{2R}\Rightarrow 2R=24\iff R=12\left(cm\right)$

\(S_{ABC}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{abc}{4R}\)

+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}\Rightarrow b\sin A=a\sin B\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\left(1\right)\)

+ Từ \(\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}\Rightarrow c\sin B=b\sin C\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(2\right)\)

+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=2R\left(3\right)\)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\left(dpcm\right)\)

A B C H K

Từ A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) , Từ B kẻ đường cao BK (K thuộc AC)

Ta có : $sinA=\frac{BK}{AB}$ ; $sinB=\frac{AH}{AB}$ ; $sinC=\frac{AH}{AC}$

$\Rightarrow \frac{AB}{sinC}=\frac{AB}{\frac{AH}{AC}}=\frac{AB.AC}{AH}$ ; $\frac{AC}{sinB}=\frac{AC}{\frac{AH}{AB}}=\frac{AB.AC}{AH}$

$\Rightarrow \frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$ (1)

Lại có : $BK=sinC.BC\Rightarrow \frac{BC}{sinA}=\frac{BC}{\frac{BK}{AB}}=\frac{BC.AB}{BK}=\frac{AB.BC}{sinC.BC}=\frac{AB}{sinC}$

$\Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$ (Đpcm)

B O C D A E M 20

Căn phòng hình vuông có kích thước là 21 lần cạnh viên gạch.

Các viên gạch men trắng nằm trên 2 đường chéo nên số viên là: 21 + 21 - 1 = 41 (viên)

(Chú ý trừ đii 1 do cạnh hình vuông lẻ nên hai đường chéo có chung 1 ô).

Số viên gạch men xanh là số ô còn lại và bằng:

    441 - 41 = 400 (viến)

ĐS: 400 viên xanh

Gọi cạnh hình vuông chứa số viên gạch là x
mà diện tích hình vuông x^2 =441 viên
=>x = 21
vậy cạnh hình vuông chứa 21viên gach.;
vì& loại men trắng nằm trên hai đường chéo của nền nhà.
=>mỗi hàng chứa 2 viên gạch .

Riêng hàng số 11, ô số 11
chỉ chứa 1 viên (vì giao điểm của hai đường chéo)
Nên số viên gạch trắng là:

      2 x 20 +1 =41 (viên)
số viên gạch xanh là :

      441- 41 =400 (viên gạch)

          Đáp số : 400 viên gạch men xanh.

Từ gt => \(\Delta OAB\)  vuông tại B và \(\Delta OAC\) vuông tại C

\(\Rightarrow\widehat{OAB}+\widehat{AOB}=90^o,\widehat{OAC}+\widehat{AOC}=90^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{OAB}+\widehat{OAC}\right)+\left(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}\right)=180^O\)

Hay \(\widehat{BAC}+\widehat{BOC}=180^O\Rightarrow\widehat{BOC}=180^o-\alpha\)

\(\Rightarrow\) số đo \(\widebat{BmC}=180^o-\alpha\)  và số đo \(\widebat{BnC=180^o+\alpha}\)

A B C O

Xét tam giascOAC cân tại O nên ta có góc \(\widehat{CAO}=\widehat{ACO}\)

mà ta có \(sd \widebat{BC}=\widehat{BOC}=\widehat{OCA}+\widehat{CAO}=2\widehat{CAO}=2\widehat{CAB}\)

vajay ta cos dpcm

Vẽ đường kính AK

+) Dễ có: ^KBC = ^KAC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

+) ^ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^ABK = 90⁰

 Có: ^KBC + ^CBA = ^ABK = 90⁰ (cmt)

       ^BAH + ^CBA = 90⁰ (∆ABH vuông tại H)

Từ đó suy ra ^KBC = ^BAH                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BAH = ^KAC hay ^BAH = ^OAC (đpcm)

Kẻ đường kính AE của đường tròn ( O) . Ta thấy \(\widehat{ACE}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{AEC}=90^o\) (1)

Theo gt, ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^O\) (2)

Lại có: \(\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\) (3)

Từ (1), (2), (3) => đpcm

a) Xét 2 TH:

- TH \(P_x,P_y\) nằm về 2 phía của đường kính kẻ qua P ( TH còn lại tương tự)

Kẻ \(OI\perp P_x\) ta có: 

\(IP=IE,IA=IB\)

\(\Rightarrow PI-AI=EI-BI\) hay PA=BE ( đpcm)

b) Kẻ \(OK\perp P_y\)

Trong đường tròn \(\left(O;r\right)\), vì AB>CD => OI<OK

Khi đó trong đường tròn \(\Rightarrow PE>PF\)

Theo định lý về mối quan hệ giữa dây và cung , trong đường tròn \(\left(O;R\right)\)

ta có: cung PE > cung PF ( đpcm)

Giải :

a) kẻ OH vuông góc với PE bà AB

⇒ H là trđ PE, AB

hay HP = HE, HA = HB 

⇒ HP - HA = HE - HB

⇒ AP = BE.

b) kẻ OK vuông góc với PF

-Xét (O;r) có : AB > CD ( gt)

⇒ OH < OK ( mối liên hệ giữa dây và k/c từ tâm đến dây )

-Xét (O;R) có : OH < OK (cmt ) 

⇒ PE> PF.

Gọi R là độ dài bán kính của đường tròn (O)

Khi đó ta sẽ biểu diễn được: \(\hept{\begin{cases}OH=OC-HC=R-h\\OB=R\end{cases}}\)

Áp dụng định lý Pytago ta có: 

\(OH^2+HB^2=OB^2\)

\(\Leftrightarrow\left(R-h\right)^2+a^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow R^2-2Rh+h^2+a^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow2Rh=h^2+a^2\)

\(\Rightarrow R=\frac{h^2+a^2}{2h}\)

Vậy \(R=\frac{h^2+a^2}{2h}\)

Đặt bán kính đường tròn là x

Ta có: OB=x, OC=x, HC=h, HB=a

⇒OH=OC-HC=x-h

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHB:

OB² = OH² + HB²

⇔x²=(x - h)²  + a²

⇔2xh =a²  + h²⇔x =\(\dfrac{a^2\text{ +}h^2}{2h}\)