Dấu ở giữa là cộng chứ nhỉ??

Đặt \(y=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}};z=\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^3+z^3=2a\\yz=\sqrt[3]{a^2-\frac{\left(a+1\right)^2\left(8a-1\right)}{27}}\\y+z=x\end{cases}=\sqrt[3]{\frac{27a^2-\left(8a^3+15a^2+6a-1\right)}{27}}=\sqrt[3]{\frac{\left(1-2a\right)^3}{27}}=\frac{1-2a}{3}}\)

Thay vào ta được:

\(x^3=\left(y+z\right)^3=y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)\)\(=2a+3\frac{1-2a}{3}x=2a+\left(1-2a\right)x\)

\(\Leftrightarrow x^3-\left(1-2a\right)x-2a=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x+2ax-2a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2a+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2+2a+x=0\end{cases}}\)

Đến đây thì có lẽ là sẽ cm được \(x^2+2a+x>0\), mình chưa tìm ra cách cm.

KL : \(x=1\inℤ\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=6abc\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=6abc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3abc\)

Đến đây ta chỉ cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=a^3+b^3+c^3\)

Nhưng rõ ràng: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ne a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

     KL : Đề sai.

Chứng minh : a³ + b³ + c³ = 3abc \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(tm\right)\\a=b=c\left(loai\right)\end{cases}}\)

Rút gọn P

\(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)

Xét : ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) = ab[-(b-c)-(c-a)] + bc(b-c) + ac(c-a)

= (b-c)(bc-ab) + (c-a)(ac-ab) = b(b-c)(c-a) + a(c-a)(c-b) = (c-a)(c-b)(a-b)

\(\Rightarrow P=\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}{abc}\)

Rút gọn Q

Đặt a - b = z ; b-c = x ; c - a = y

\(\Rightarrow\)x- y = a + b - 2c = -c - 2c = -3c              ( do a + b + c = 0 )

y - z = -3a ; z - x = -3b

\(\Rightarrow\)\(-3Q=\frac{\left(y-z\right)}{x}+\frac{\left(z-x\right)}{y}+\frac{\left(x-y\right)}{z}\)

Làm tương tự như rút gọn P, ta có : 

\(-3Q=\frac{\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)}{xyz}=\frac{-\left(-3a\right)\left(-3b\right)\left(-3c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{27abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{-27abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow Q=\frac{9abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow PQ=9\)

Xét phân thức phụ sau, với n nguyên dương lớn hơn 1 ta có:

Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(< \frac{2\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}\right)^2\sqrt{n}}=2\left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}\right)\sqrt{n}}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

=> \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được:

\(A=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{\sqrt{2020}}\right)\)

\(A=2-\frac{2}{\sqrt{2020}}< 2=B\)

Vậy A < B

Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố

Xét n>1:\(A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)+n\left(\left(n^3\right)^{667}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Mà \(\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^3-1\)

\(\Rightarrow\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)

Tương tự \(\left(\left(n^3\right)^{667}\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)

Vậy A chia hết cho \(n^2+n+1>1\)nên A là hợp số.Vậy \(n=1\)

Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố

Xét n>1:A=n2012−n2+n2002−n+n2+n+1

=n2((n3)670−1)+n((n3)667−1)+(n2+n+1)

Mà ((n3)670−1)chia hết cho n3−1

⇒((n3)670−1)chia hết cho n2+n+1

Tương tự ((n3)667)chia hết cho n2+n+1

A chia hết cho n2+n+1>1nên A là hợp số.Vậy n=1
 

\(\sqrt{x}=x\)      \(\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-x=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\1-\sqrt{x}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy 

\(\hept{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)

bạn phân tích đa thức thành nhân tử ở tử thức và mẫu thức sao cho chứa nhân tử chung là x² - x - 1 . Còn lại 2013/2012

méo hiểu cái kiểu gì ?

pt <=>\(2\sqrt{\frac{x^2}{4}+\sqrt{x^2-4}}=16-2x^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-4+\sqrt{x^2-4}+4}=16-x^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-4}+2=16-2x^2\)

đặt \(\sqrt{x^2-4}=t\)

\(pt\Leftrightarrow t+2=16-t^2\)

giải ra đc t =1,5 hoặc t=-2

từ đó => x

hoi kho day