Số p⁴ có 5 ước số tự nhiên là 1 , p, p² , p³ , p⁴
Ta có : 1 + p + p² + p³ + p⁴ = n²     (n \(\in\) N)
Suy ra : 4n² = 4p⁴ + 4p³ + 4p² + 4p + 4 > 4p⁴ + 4p³ + p² = (2p² + p)²
Và  4n² < 4p⁴ + p² + 4 + 4p³ + 8p² + 4p = (2p² + p + 2)².
Vậy : (2p² + p)² < (2n)²  < (2p² + p + 2)².
Suy ra :(2n)² = (2p² + p + 2)² = 4p⁴ + 4p³ +5p² + 2p + 1

vậy 4p⁴  + 4p³ +5p² + 2p + 1 = 4p⁴ + 4p³ +4p² +4p + 4   (vì cùng bằng 4n² )

=> p² - 2p - 3 = 0  => (p + 1) (p - 3) = 0

do p > 1  => p - 3 = 0   => p = 3

\(\sqrt{3^4}=9\) nên p = 3

I/ Kiến thức cần nhớ

- Công thức tính diện tích tam giác:   S = a x h : 2

Trong đó:  S là diện tích tam giác,

           a là số đo của đáy (lấy đáy là một trong 3 canh của tam giác)

           h là số đo chiều cao ứng với đáy (Chiều cao của tam giác là đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy và vuông góc với đáy)

- Công thức liên quan:   h = S x 2 : a  ;            a = S x 2 : h

II/ Các ví dụ

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC (như hình vẽ) có độ dài đáy BC = 16, diện tích tam giác là 200 cm². Vẽ chiều cao AH và tính AH.

ABCH
                                                                                                        
Giải: 

+)  Đáy là BC thì chiều cao là đoạn thẳng xuất phát từ A và vuông góc với BC.

+) Áp dụng công thức tính chiều cao h = S x 2 : a.

Độ dài chiều cao AH là:        200 x 2 : 16 = 25 (cm)

Đáp số: 25 cm

Nhận xét :

       - Không phải lúc nào chiều cao cũng nằm trong tam giác.

       - Khi tính diện tích tam giác, cần lưu ý: Chiều cao nào thì phải ứng với đáy đó.(Trong ví dụ 1, đáy là BC thì chiều cao là AH).

-----------------------

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC có diện tích là 45 cm². D là trung điểm của cạnh AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE gấp đôi EC. Tính diện tích tam giác AED.

Giải:

ABCHDE

Nối B với E. Vẽ EH vuông góc với AB.

Ta có

      S_ABE = 12  x EH x AB 

      S_ADE  =  12  x EH x AD

                = 12 x EH x 12 x AB  (vì AD = 12   x AB)

                =  12  x S_ABE                           (1)

Tương tự, ta có: ABE và ABC là hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B mà đáy AE = 23  x AC

Suy ra: S_ABE = 23  x S_ABC                       (2)  .

Từ (1) và (2) ta có  S_ADE  = 12  x  23  x S_ABC =  13  x 45 = 15 (cm²)

Đáp số : 15 cm²

Nhận xét:  

- Ta có thể tính diện tích tam giác bằng cách tìm mối quan hệ giữa các tam giác.

    + Nếu hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau) thì diện tích của chúng tỉ lệ với hai cạnh đáy .

    + Nếu hai tam giác có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau)  thì diện tích của chúng tỉ lệ với hai đường cao tương ứng.

- Lưu ý: Ưu tiên nối thêm hình và chọn đáy là những cạnh có chia tỉ lệ. (Ở ví dụ 2, ta cũng có thể nối D với C).

Câu hỏi của bggvf - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại link bên trên nhé.

xét n=0 => không thỏa mãn;n=1 => thỏa mãn; 

xét n\(\ge2\)

với n là số chẵn thì 

19ⁿ+1ⁿ=(19+1)(19^n-1  - 19^n-2  +... - 1)+ 2.1ⁿ = 20A + 2

18ⁿ +2ⁿ = (18+2)(18^n-1-  18^n-2.2 +  18^n-3.2²  - ... -  2^n-1) + 2.2ⁿ = 20B +2.2ⁿ

=> để 20A +2 +20B+ 2.2²ⁿ chia hết cho 5 thì 2.2ⁿ +2 chia hết cho 5 hay 2ⁿ +1 chia hết cho 5

n chẵn nên sẽ có dạng n= 2k (k\(\in N;k\ge1\)) => 2ⁿ +1 = 2^2k +1 = 4^k +1

4^k chỉ có chữ số tận cùng là 4 hoặc 6

với k chẵn thì 4^k tận cùng là 6 nên 4^k +1 không chia hết cho 5 (loại)

với k lẻ; k có dạng k = 2x+1 (\(x\in N;x\ge0\)) thì 4^k tận cùng là 4 nên 4^k +1 tận cùng là 5 ( thỏa mãn chia hết cho 5)  => n = 2k =2(2x+ 1) = 4x + 2 (x\(\in N;x\ge0\)) thỏa mãn

xét n là số lẻ; n =2k +1 (k\(\in Z;k\ge1\)) thì 19ⁿ+1ⁿ + 18ⁿ + 2ⁿ = (19+1)(19^n-1- 19^n-2  +...+ 1) + (18+2)(18^n-1 -  18^n-2.2 +...+  2^n-1)

=20U +20V chia hết cho 5

vậy với mọi n là số lẻ hoặc n = 4x +2(x \(\in N;x\ge1\)) đều thỏa mãn

+) 18 chia 5 dư 3

=> \(18^n;3^n\) có cùng số dư khi chia cho 5.

+) 19 chia 5 dư 4

=> \(19^n;4^n\)có cùng số dư khi chia cho 5

=> \(1^n+2^n+18^n+19^n\)chia hết cho 5 khi và chỉ khi \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5

+) Chúng ta đi tìm n bằng cách quy nạp:

Với n = 0 ta có: \(1^0+2^0+3^0+4^0=4⋮̸5\)

Với n = 1 ta có: \(1^1+2^1+3^1+4^1=10⋮5\)

Với n = 2 ta có: \(1^2+2^2+3^2+4^2=30⋮5\)

Với n = 3 ta có: \(1^3+2^3+3^3+4^3=100⋮5\)

Với n = 4 ta có: \(1^4+2^4+3^4+4^4=354⋮̸5\)

Với n = 5 ta có: \(1^5+2^5+3^3+4^3=1300⋮5\)

...

Từ điều trên chúng ta có nhận xét rằng, Các số n không chia hết cho 4 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5.

+) Chứng minh: Xét n với 4 dạng : n = 4k; n= 4k+1 ; n= 4k+2; n= 4k +3 ( với k là số tự nhiên)

(i) Với n = 4k ta có: 

Vì \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k\)chia 5 dư 1; \(81^k\)chia 5 dư 1;  \(256^k\)chia 5 dư 1

\(1^{4k}+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k}=1^k+16^k+81^k+256^k\)

=> n =4k thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\)không chia hết cho 5.

(ii) Với n = 4k + 1ta có:

Vì  \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.2\)chia 5 dư 2; \(81^k.3\)chia 5 dư 3; \(256^k.4\) chia 5 dư 4.

=> \(1^{4k+1}+2^{4k+1}+3^{4k+1}+4^{4k+1}=1^k+16^k.2+81^k.3+256^k.4\) chia 5 dư 10 => chia hết 5

=>  n =4k +1 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

(iii)  Với n = 4k + 2  ta có:

Vì  \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.4\)chia 5 dư 4; \(81^k.9\)chia 5 dư 4; \(256^k.16\) chia 5 dư 1.

=> \(1^{4k+2}+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}=1^k+16^k.4+81^k.9+256^k.16\) chia 5 dư 10 => chia hết cho 5

=>  n =4k +2 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

(iv)  Với n = 4k + 3ta có:

Vì  \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.8\)chia 5 dư 3; \(81^k.27\)chia 5 dư 2 ; \(256^k.64\) chia 5 dư 4.

=> \(1^{4k+1}+2^{4k+3}+3^{4k+3}+4^{4k+3}=1^k+16^k.8+81^k.27+256^k.64\) chia cho 5  dư 10 => chia hết cho 5

=>  n =4k +3 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

=> n không chia hết cho 4 thì  \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

Vậy suy ra  \(1^n+2^n+18^n+19^n\) chia hết cho 5 khi n không chia hết cho 4.

Theo đề bài ta có phương trình : \(\overline{abc}\cdot\overline{bca}\cdot\overline{cab}=\overline{2defghij9}=x\left(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,x\inℕ\right)\)

Ta có \(\overline{abc}\cdot\overline{bca}\cdot\overline{cab}=\overline{2defghij9}\) do chữ số tận cùng của tích \(ca\) (đặt là \(y\)) khi nhân với \(b\) thì có chữ số tận cùng là 9 (áp dụng phép đặt tính và nhân lần lượt các thừa số \(\overline{abc},\overline{bca},\overline{cab}\)). Vậy có 2 trường hợp xảy ra.

TH1 : \(yb=9=1\cdot1\cdot9=1\cdot3\cdot3\)

TH1a : \(a=1,b=1,c=9\Rightarrow x=119\cdot191\cdot911=20706119\)(không thỏa mãn yêu cầu đề bài vậy do \(x\) có 8 chữ số vậy TH1a vô lí)

TH1b : \(a=1,b=3,c=3\Rightarrow x=133\cdot331\cdot313=1379199\)(không thỏa mãn yêu cầu đề bài vậy do \(x\) có 7 chữ số vậy TH1b vô lí)

TH2 : \(yb=49=1\cdot7\cdot7\Rightarrow\overline{abc}=177\Rightarrow x=177\cdot771\cdot717=97846839\) 

(không thỏa mãn yêu cầu đề bài vậy do \(x\) có 8 chữ số vậy TH2 vô lí)

Vậy \(\overline{abc}\in\left\{\varnothing\right\}\)

A C B D F I G H K L 1 2 3 4 1 2 E 1 2 1

Lấy điểm L sao cho A là trung điểm LB thì 2 tam giác vuông\(\Delta CAL=\Delta CAB\left(2cgv\right)\)

=> CL = CB mà BC = 2AB ; LB = 2AB nên BC = LB => CL = LB = CB =>\(\Delta CLB\) đều\(\Rightarrow\widehat{ABC}=60^0\)

\(\Delta ABC\)vuông tại A có\(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=30^0\Rightarrow\widehat{C_2}=\frac{30^0}{3}=10^0\Rightarrow\widehat{C_3}=20^0\)

Ta chứng minh được 2 cặp tam giác vuông\(\Delta CKH=\Delta CKF\left(2cgv\right);\Delta CIF=\Delta CIG\left(2cgv\right)\)

=> CH = CG (1)(vì CH = CF ; CF = CG) ;\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2};\widehat{C_3}=\widehat{C_4}\)

\(\Rightarrow\widehat{HCG}=\widehat{C_1}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}+\widehat{C_4}=2\left(\widehat{C_2}+\widehat{C_3}\right)=2\widehat{ACB}=60^0\)(2)

Từ (1) và (2),ta có\(\Delta HCG\)đều nên\(\widehat{G_1}=60^0\)

\(\Delta FCG\)cân tại C (CF = CG) có\(\widehat{FCG}=\widehat{C_3}+\widehat{C_4}=2\widehat{C_3}=40^0\Rightarrow\widehat{FGC}=\frac{180^0-40^0}{2}=70^0\)

\(\Rightarrow\widehat{G_2}=\widehat{CGF}-\widehat{G_1}=70^0-60^0=10^0\)

\(\widehat{B_1}=\frac{\widehat{ABC}}{3}=20^0\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{ABC}-\widehat{B_1}=40^0\)

\(\widehat{DFG}=\widehat{I_1}+\widehat{B_2}=90^0+40^0=130^0\)(\(\widehat{DFG}\)là góc ngoài\(\Delta FIB\)).\(\Delta DFG\)có :

\(\widehat{FDG}=180^0-\widehat{DFG}-\widehat{G_2}=180^0-130^0-10^0=40^0\)

\(\Delta ADB\)vuông tại A có\(\widehat{ADB}=90^0-\widehat{B_1}=70^0\).

Ta chứng minh được 2 tam giác vuông\(\Delta DKH=\Delta DKF\left(2cgv\right)\)nên\(\widehat{HDK}=\widehat{ADB}\)

\(\Rightarrow\widehat{HDG}=\widehat{HDK}+\widehat{ADB}+\widehat{FDG}=70^0+70^0+40^0=180^0\)

Vậy H,D,G thẳng hàng

Tịnh giải quá hay

tớ tưởng n²+n+1 chia hết cho 2n+1 chứ ?:o

X = một số tự nhiên khác 0

X có giá trị bằng 1 số

Tóm lại X = X không gì có thể chối cãi được.

A B C I K

+) \(\Delta\)ABC cân => \(\hept{\begin{cases}AB=AC\left(1\right)\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{cases}}\)

Ta có:  \(\widehat{BAC}=100^o\)=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=40^o\)

\(\widehat{IBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABI}=40^o-10^o=30^o\)

\(\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{40^o}{2}=20^o\)(i)

+) Trên nửa mặt phẳng bờ AC  chứa B lấy điểm K sao cho \(\Delta\)AKC đều => \(\hept{\begin{cases}\widehat{KAC}=\widehat{ACK}=\widehat{AKC}=60^o\\AK=KC=AC\left(2\right)\end{cases}}\)

=> \(\widehat{BAK}=\widehat{BAC}-\widehat{KAC}=100^o-60^o=40^o\)

Từ (1); (2) => AB=AK => \(\Delta\)ABK cân tại A => \(\widehat{ABK}=\widehat{AKB}=\frac{180^o-\widehat{BAK}}{2}=70^o\)

=> \(\widehat{KBC}=\widehat{ABK}-\widehat{ABC}=70^o-40^o=30^o\)

\(\widehat{KCB}=\widehat{KCA}-\widehat{ACB}=60^o-40^o=20^o\)

+) Xét \(\Delta\)BIC và \(\Delta\)BKC có:

\(\widehat{IBC}=\widehat{KBC}\left(=30^o\right)\)

BC chung

\(\widehat{ICB}=\widehat{KCB}\left(=20^o\right)\)

=>  \(\Delta\)BIC = \(\Delta\)BKC 

=> CK =CI (3)

(2); (3) => CI =CA =>  \(\Delta\)ACI cân tại C

b)   \(\Delta\)ACI cân tại C có: \(\widehat{ACI}=20^o\) (theo (i) )

=> \(\widehat{CIA}=\widehat{CAI}=\frac{180^o-\widehat{ACI}}{2}=80^o\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{BAC}-\widehat{CAI}=100^o-80^o=20^o\)

Vẫn thiếu: r là số dư của a chia cho 42 hay r<42.

Ta có:  \(a=42x+r=2.3.7x+r\)

Vì a là số nguyên tố

=> r không thể chia hết cho các số 2; 3; 7

Mặt khác r là hợp số ( r không phải là số nguyên tố; r khác 1)

Các số không chia hết cho 2 và là hợp số là: 9; 15; 21;25;27;33;35;39  loại đi các số không chia hết cho 3 , 7

=> r =25

Như vậy a=42.x+25 <200

Nếu x\(\ge\)5 => 42.x+25 \(42.5+25\ge235>200\)( loại)

Do đó x<5

+) x = 0 

=> a = r=25 loại

+) x=1

=> a=42.1+25=67 ( là số nguyên tố) => a=67 thỏa mãn

+) x=2

=> a=42.2+25=109  ( tm)

+) x=3 

=> a=42.3+25=151 (tm)

+) x=4

=> a=42.2+25 =193 ( tm)

Vậy \(a\in\left\{67;109;151;193\right\}\)

Gọi \(I\)là giao điểm của \(BC\)và \(AM\)còn \(H\)và \(K\)theo thứ tự là hình chiếu của \(B\)và \(C\)trên \(AM\)

Ta có: \(BI\ge BH\)và \(CI\ge CH\)( quan hệ đường xiên - đường vuông góc )

Đẳng thức xảy ra khi \(AM\perp BC\)

Suy ra:

           \(MA.BC=MA.\left(BI+BC\right)\ge MA.\left(BH+CK\right)\)

       \(\Leftrightarrow MA.BC\ge MA.BH+MA.CK\)

      \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\)                                                      \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\)         \(\left(2\right)\)

( Đẳng thức xảy ra khi \(MB\perp CA\))

      \(MC.AB\ge2S_{MCA}+2S_{MBC}\)                                                            \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế với ba bất đẳng thức \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)ta được:

\(MA.BC+MB.CA+MC.AB\ge4.\left(S_{MAB}+S_{MCA}+S_{ABC}\right)\)

Đặt \(S=S_{ABC}\)thì \(S\)không đổi và \(T\ge4S\)

Vậy: \(T_{min}=4S\)khi \(M\)là trực tâm \(\Delta ABC\)

A B C M N

Dựng hình bình hành AMBN. Lúc đó \(MA.BC=BN.BC\ge2S_{BCN};MB.CA\ge2S_{CAN}\)

Suy ra \(MA.BC+MB.CA\ge2\left(S_{BCN}+S_{CAN}\right)=2\left(S_{ABC}+S_{AMB}\right)\) (Vì tứ giác AMBN là hình bình hành)

Tương tự: \(MB.CA+MC.AB\ge2\left(S_{ABC}+S_{BMC}\right);MC.AB+MA.BC\ge2\left(S_{ABC}+S_{CMA}\right)\)

Do vậy \(2\left(MA.BC+MB.CA+MC.AB\right)\ge2\left(3S_{ABC}+S_{AMB}+S_{BMC}+S_{CMA}\right)=8S_{ABC}\)

Suy ra \(2T\ge8S_{ABC}\Rightarrow T\ge4S_{ABC}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BN vuông góc BC, AN vuông góc AC <=> M là trực tâm \(\Delta\)ABC.

\(5^a+25\)

\(+,a=0\Rightarrow5^a+25=26\left(l\right)\)

\(+,a=1\Rightarrow5^a+25=30\left(l\right)\)

\(+,a=2\Rightarrow5^a+25=50\left(l\right)\)

\(+,a=3\Rightarrow5^a+25=150\left(l\right)\)

\(+,a\ge4\Rightarrow5^a=\left(....25\right)+25=\left(....50\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}5^a+25⋮2\\5^a+25⋮4̸\end{cases}}\left(l\right)\)

shitbo ơi, TH cuối 5^n không chia hết cho 4 đúng không