Gọi biểu thức trên là A.

Chứng minh A > 50

\(A=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2^1+1}+\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2+1}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2^3}\right)+...+\left(\frac{1}{^{2^{100-2}+1}}+...+\frac{1}{2^{100-1}}\right)\\ \)

\(A>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}.2+\frac{1}{2^3}.2^2+...+\frac{1}{2^{100-1}}2^{100-2}\)

\(A>\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)

\(< =>A>\frac{100}{2}=50\)

Chứng minh A<100

\(A=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{7}\right)+....+\left(\frac{1}{2^{100-2}}+\frac{1}{2^{100-2}+1}+...+\frac{1}{2^{100-1}-1}\right)\)-\(\frac{1}{2^{100-1}}\)

\(A< 1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2^2}.2^2+...+\frac{1}{2^{100-2}}.2^{100-2}+\frac{1}{2^{100-1}}\)

\(A< 1+1+1+...+1+\frac{1}{2^{100-1}}\)

\(A< 1.99+\frac{1}{2^{100-1}}< 99+1=100\)

ta có : 1+1/2+1/3+....+1/2^100-1   

= 1/2x2 +1/3x2 +1/4x2 +...+ 1/2^100 x2

= 2x(1/2+1/3+1/4+...+1/2^100)      

=.................... làm đến đây mk tịt

Cách 2:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(a^2+b^2+c^2=\frac{b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2}{a^2+3+b^2+4+c^2+5}=0\).
 Vậy: \(a^2+b^2+c^2=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\\c=0\end{cases}}\).
Vậy M = 0.

\(a^2+b^2+c^2=\frac{b^2-c^2}{a^2+3}\le b^2-c^2\Rightarrow a^2\le-2c^2\Rightarrow c=0;a=0.\)

tương tự => a =b=c =0

Vậy M =0

Đặt \(f\left(n\right)=a_0+a_1+...+a_n-na_{n+1}\); Ta có \(f\left(0\right)=a_0\)

Bởi vì \(a_{n+2}\ge a_{n+1}\) nên ta có:

\(a_0+a_1+...+a_n-na_{n+1}>a_0+a_1+...+a_n+a_{n+1}-\left(n+1\right)a_{n+2}.\)

Vậy thì \(f\left(n\right)>f\left(n+1\right)\) hay \(f\left(n\right)\) là dãy đơn điệu giảm.

Bởi vậy, vì \(f\left(0\right)>0\) nên tồn tại duy nhất số m thỏa mãn \(f\left(m-1\right)>0\ge f\left(m\right).\)

Mặt khác, ta lại có:

\(a_0+a_1+...+a_{m-1}-\left(m-1\right)a_m>0;a_0+a_1+...+a_m-ma_{m+1}\le0\)

Từ đó suy ra:

\(a_m< \frac{a_0+a_1+...+a_m}{m}\le a_{m+1}\)

Đặt \(h\left(n\right)=a_0+a_1+...+a_m-ma_m\). Bởi vì \(a_{n+1}>a_n\) nên ta có:

\(a_0+a_1+...+a_n-na_n>a_0+a_1+...+a_n+a_{n+1}-\left(n+1\right)a_{n+1}.\)

Vậy \(h\left(n\right)\) cũng là dãy đơn điệu giảm.

Chú ý rằng: \(h\left(m+1\right)=a_0+a_1+...+a_{m+1}-\left(m+1\right)a_{m+1}\le0.\)

nên \(h\left(t\right)\le0\forall t>m.\) Vì vậy, \(h\left(n\right)>0\) sẽ không thỏa mãn với n > m. Vậy m là số duy nhất thỏa mãn.

Đây là bài tập trong đề thi IMO 2014 tại Nam Phi. Đề bài chính xác thì bất đẳng thức đằng sau có dấu bằng. Đây là bài cô dịch từ bài giải bằng tiếng anh của tác giả Gerhard Woeginger, Australia.

Bài này khó thật !

\(\frac{10^{2016}+2^3}{9}=\frac{10^{2016}-1}{9}+\frac{2^3+1}{9}=\left(1+10+10^2+...+10^{2015}\right)+1\in N.\)

\(10^{2016}\)= 1000...00(mình ko cần biết cso bao nhiêu cx 0, nó là bài đánh  lừa nhá bn)

\(2^3\)= 8

\(10^{2016}\) + 8= 10000...08

có 1+0+0+...+0+8=9. vậy số này chia hết cho 9

mà như bạn thấy số này là số dương nên số đó là số tự nhiên nhá

Ta có : \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{2008}}{a_{2009}}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2008}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{2009}}\)

Đặt \(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2008}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{2009}}=b\)thì \(\frac{a_1}{a_2}=b\left(1\right);\frac{a_2}{a_3}=b\left(2\right);\frac{a_3}{a_4}=b\left(3\right);...;\frac{a_{2008}}{a_{2009}}=b\left(2008\right)\)

Nhân (1),(2),(3),...,(2008) vế theo vế,ta có :

 \(\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}.....\frac{a_{2008}}{a_{2009}}=b^{2008}\)hay \(\frac{a_1}{a_{2009}}=\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2008}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{2009}}\right)^{2008}\)(đpcm)

\(\Delta ADM,\Delta ADN\) có chung cạnh AD,AM = AN (gt),DM = DN (vì D là trung điểm MN) => \(\Delta ADM=\Delta ADN\) (c.c.c)

=> góc MAD = góc NAD (2 góc tương ứng) => AD là phân giác góc BAC (1)

\(\Delta AEB,\Delta AEC\)có chung cạnh AE,AB = AC (gt),EB = EC (vì E là trung điểm BC) => \(\Delta ADM=\Delta ADN\)(c.c.c)

=> góc BAE = góc CAE (2 góc tương ứng) => AE là phân giác góc BAC (2)

Từ (1) và (2),ta có AD,AE trùng nhau,tức là A,D,E thẳng hàng.

rat hay cau tra loi cua ban

2^m-2ⁿ=256 => 2^m-2ⁿ-2⁸= 0 => 2⁸(2^m-8-2^n-8-1)=0.

Vì 2⁸ >0 nên 2^m-8 - 2^n-8 -1 =0 => 2^m-8 =2^n-8 +1      (1)

• Nếu 2^m-8  ko chia hết cho 2 thì 2^n-8 >2 và 2^m-8= 1 (trái với 1)
• Nếu 2^m-8 chia hết 2 thì 2^n-8 ko chia hết 2 => 2^n-8 ​=1 => n-8 = 0 => n=8 => m=9.

Vậy m=9, n=8.

\(2^{m-8}\) luôn chia hết cho 2 nhé bạn trên :v
Chỉ cần xét trường hợp 2 .( viết theo đồng dư cho dễ hiểu )

không thể là vì ngư lâm không thể giết hết rắn khi rắn giết hết 99 công chúa ( vì tổng các số chẵn # lẻ nên tồn tại 1 con rắn lẻ ) , tương tự công chúa không giết hết dc ngư lâm khi ngư lâm giết hết 101 rắn
~> cư dân đó là mãng xà 

có đúng thế này ko

mãng xà