Mình mới thử chương trình lớp 9 nên chưa hiểu nhiều lắm. Cảm ơn nhé!

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+xy+2y+x=2\left(1\right)\\2x^2-y^2-2y-2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

<=> \(3x^2+xy+x-4=0\)

<=> \(x\left(y+1\right)=4-3x^2\) 

<=> \(y+1=\frac{4-3x^2}{x}\)

Khi đó,  pt (2) <=> \(2x^2-1-\left(y+1\right)^2=0\)

<=> \(2x^2-1-\left(\frac{4-3x^2}{x}\right)^2=0\)

<=> \(2x^2-1-\frac{9x^4-24x^2+16}{x^2}=0\)

<=> \(2x^4-x^2-9x^4+24x^2-16=0\)

<=> \(7x^4-23x^2+16=0\)

<=>> \(7x^4-7x^2-16x^2+16=0\)

<=> \(\left(x^2-1\right)\left(7x^2-16\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\pm1\\x=\pm\frac{4}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)

Với x = 1 => \(y=\frac{4-3.1^2}{1}-1=0\)

(còn lại tt)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+xy+2y+x=2\left(1\right)\\2x^2-y^2-2y-2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy \(3\left(2\right)-\left(1\right)\)ta được: 

\(3\left(2x^2-y^2-2y-2\right)-\left(x^2+y^2+xy+2y+x\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow5x^2-4y^2-8y-4-xy-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(5x+4y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y+1\\x=-\frac{4y+4}{5}\end{cases}}\)

Từ đây bạn thế vào (1) hoặc (2) và giải phương trình bậc hai thu được các nghiệm của hệ phương trình. 

Đáp án các nghiệm là: \(\left(-1,-2\right),\left(1,0\right),\left(-\frac{4}{\sqrt{7}},\frac{5}{\sqrt{7}}-1\right),\left(\frac{4}{\sqrt{7}},-\frac{5}{\sqrt{7}}-1\right)\).

ĐKXĐ : \(y+\frac{1}{y}\ge0;y\ne0\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x^2+1}=y+\frac{1}{y^2+1}\left(1\right)\\x^2+2x.\sqrt{y+\frac{1}{y}}=8x-1\left(2\right)\end{cases}}\)              

(1) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)-\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\right)=0\) 
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\end{cases}}\) 

Với x = y thay vào (2) ; ta có : \(x^2+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1\) 

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8-\frac{1}{x}\) ( vì x =  y mà y khác 0 => x khác 0 ) 

Đặt \(a=\sqrt{x+\frac{1}{x}}\) rồi giải p/t

Với : \(1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\) \(\Leftrightarrow\frac{x^2y^2+y^2+x^2+1-x-y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}+x^2y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\)

Dễ thấy : VT > 0 => PTVN 

.... 

Phút thứ 1 : Bóng đèn số \(x_1=0\) sáng

Phút thứ 2 : Bóng đèn số \(x_2=\left(216x_1+19\right)mod56=19\)sáng.

Phút thứ 3 : Bóng đèn số \(x_3=\left(216x_2+19\right)mod56=35\) sáng.

Phút thứ 4 : Bóng đèn số \(x_4=\left(216x_3+19\right)mod56=19\) sáng.

.............................................................................................................

Tới đây ta nhận thấy rằng từ phút thứ hai trở đi, chỉ có bóng đèn số 35 và 19 sáng. 

Hay nói cách khác, số chu kì lặp là 2. Các phút chẵn thì bóng đèn 19 sáng, còn các phút

lẻ thì bóng đèn số 35 sáng.

Như vậy ở phút thứ 2018 thì bóng đèn số 19 đang sáng.

thứ 19

\(P=\left(1+2a\right)\left(1+2bc\right)\le\left(1+2a\right)\left(1+b^2+c^2\right)=\left(1+2a\right)\left(2-a^2\right)\)

\(=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}a\right)\left(2-a^2\right)\le\frac{3}{8}\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{3}a-a^2\right)^2=\frac{3}{8}\left[\frac{28}{9}-\left(a-\frac{2}{3}\right)^2\right]^2\)

\(\le\frac{3}{8}.\left(\frac{28}{9}\right)^2=\frac{98}{27}\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}b=c\\\frac{2}{3}+\frac{4}{3}a=2-a^2,a-\frac{2}{3}=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=c=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{3}\end{cases}}\).

Vậy \(maxP=\frac{98}{27}\).

Ta co : \(P=2a+2bc+2abc+1\)

Ap dung bdt Co-si : \(P\le a^2+b^2+c^2+2abc+2=2abc+3\)

Tiep tuc ap dung Co-si : \(1=a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}< =>\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le\frac{1}{3}\)

\(< =>a^2b^2c^2\le\frac{1}{27}< =>abc\le\frac{1}{\sqrt{27}}\)

Khi do : \(2abc+3\le2.\frac{1}{\sqrt{27}}+3=\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)

Suy ra \(P\le a^2+b^2+c^2+2abc+2\le\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)

Dau "=" xay ra khi va chi khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vay Max P = \(\frac{2}{\sqrt{27}}+3\)khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 

p/s : khong biet dau = co dung k nua , minh lam bay do

Trước tiên ta sẽ chứng minh \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\left(m,n\inℤ,\left(m,n\right)=1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2=2n^2\)

Suy ra \(m^2⋮2\Rightarrow m⋮2\Rightarrow m=2k\)

\(4k^2=2n^2\Leftrightarrow n^2=2k^2\)từ đây cũng suy ra \(n⋮2\)

Khi đó \(m,n\)cùng chia hết cho \(2\)(mâu thuẫn với \(\left(m,n\right)=1\))

Do đó ta có đpcm: \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{1+\sqrt{2}}=\frac{a}{b},\left(a,b\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow1+\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}-1\)là số hữu tỉ. 

Mà \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ do đó mâu thuẫn nên ta có đpcm. 

bài này chỉ cần cm căn 2 là số vô tỉ => đpcm

\(2021n-19\equiv21n+21\left(mod40\right)\)suy ra ta cần chứng minh \(n+1⋮40\)(vì \(\left(21,40\right)=1\)).

Đặt \(m=n+1\). Ta sẽ chứng minh \(m⋮40\).

Đặt \(2m+1=a^2,3m+1=b^2\).

\(2m+1\)là số lẻ nên \(a\)là số lẻ suy ra \(a=2k+1\).

\(2m+1=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1\Rightarrow m=2\left(k^2+k\right)\)nên \(m\)chẵn. 

do đó \(3m+1\)lẻ nên \(b\)lẻ suy ra \(b=2l+1\).

\(3m+1=4l^2+4l+1\Leftrightarrow3m=4l\left(l+1\right)\)có \(l\left(l+1\right)\)là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(2\)do đó \(4l\left(l+1\right)\)chia hết cho \(8\)suy ra \(m⋮8\)vì \(\left(3,8\right)=1\).

Giờ ta sẽ chứng minh \(m⋮5\).

Nếu \(m=5p+1\): \(2m+1=10p+3\)có chữ số tận cùng là \(3\)nên không là số chính phương.

Nếu \(m=5p+2\): \(3m+1=15m+7\)có chữ số tận cùng là \(7\)nên không là số chính phương. 

Nếu \(m=5p+3\): \(2m+1=10m+7\)có chữ số tận cùng là \(7\)nên không là số chính phương. 

Nếu \(m=5p+4\): \(3m+1=15m+13\)có chữ số tận cùng là \(3\)nên không là số chính phương. 

Do đó \(m=5p\Rightarrow m⋮5\).

Có \(m⋮8,m⋮5\)mà \(\left(5,8\right)=1\)suy ra \(m⋮\left(5.8\right)\Leftrightarrow m⋮40\).

Ta có đpcm. 

méo biêt

Dựng hình bình hành \(ABEC\).

Khi đó \(E\in DC\).

Vì \(BD\perp AC\)mà \(AC//BE\)nên \(BE\perp BD\).

Kẻ \(BH\perp DE\). 

Xét tam giác \(BED\)vuông tại \(B\)đường cao \(BH\): 

\(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{BE^2}\Leftrightarrow\frac{1}{4^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{BE^2}\Leftrightarrow BE=\frac{20}{3}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{1}{2}.BD.BE=\frac{1}{2}.5.\frac{20}{3}=\frac{50}{3}\left(cm^2\right)\)

Có ai biết đổi tên cho mình hông?

Tổng quát: 

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Suy ra: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=1+2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=19\)

\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=18\)

Do đó ta có đpcm. 

Xét tam giác \(BGA\)vuông tại \(G\): 

\(BA^2=BG^2+GA^2=\frac{4}{9}\left(BE^2+AM^2\right)\Leftrightarrow BE^2+\frac{BC^2}{4}=\frac{27}{2}\)(1)

Xét tam giác \(ABE\)vuông tại \(A\): 

\(BE^2=AB^2+AE^2=6+\frac{1}{4}AC^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC^2+AC^2=30\)

mà \(BC^2=AC^2+6\)

suy ra \(BC^2=18\Rightarrow BC=3\sqrt{2}\left(cm\right)\).