Đặt \(d=\left(m,n\right)\)

Ta có :\(\hept{\begin{cases}m=ad\\n=bd\end{cases}}\)với \(\left(a,b\right)=1\)

Lúc đó

\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{ad+1}{bd}+\frac{bd+1}{ad}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+a+b}{abd}\)là số nguyên

Suy ra \(a+b⋮d\Rightarrow d\le a+b\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)

Vậy \(\left(m,n\right)\le\sqrt{m+n}\)(đpcm)

a) CM: \(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)

 \(\widehat{OBM}+\widehat{OBC}=180^o\)( kề bù)

\(\widehat{ODC}+\widehat{OBC}=180^o\)( tứ giác ODCB nội tiếp )

=> \(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)

b) 

+)Xét tam giác MCN có CO là tia phân giác đồng thời là đường cao

=> Tam giác CMN cân tại C (1)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{DNA}=\widehat{BAM}\)( CD//BA => DN//BA)

=> Tam giác BMA cân tại B

=> BM=BA=CD ( ABCD là hình bình hành) (2)

+) CO là phân giác \(\widehat{BCD}\)

=> \(\widebat{BO}=\widebat{DO}\)

=> BO=DO (3)

+) Xét tam giác BOM và tam giác DOC có:

\(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)( theo a)

BM=CD ( theo 2)

BO=DO (theo 3)

=> \(\Delta BOM=\Delta DOC\)

+) OM=OC

Và từ (1) => CO là đường trung trực của MN

=> OM=ON

Vậy OM=ON=OC

=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

c)  GỌi H là giao của IO và BD

=> IH vuông BD và H là trung điể m BD

Ta có: \(KD^2=\left(HD-HK\right)^2=HD^2+HK^2-2.HD.HK=ID^2-IH^2+IK^2-IH^2-2HD\left(HD-KD\right)\)

\(=ID^2+IK^2-2\left(IH^2+HD^2\right)+2HD.KD=ID^2+IK^2-2ID^2+2HD.KD\)

\(=IK^2-ID^2+2HD.KD\)

=> \(IB^2-IK^2=ID^2-IK^2=2HD.KD-KD^2\)

=> \(\frac{IB^2-IK^2}{KD^2}=\frac{2HD-KD}{KD}=\frac{BD-KD}{KD}=\frac{BK}{KD}\)(4)

Ta lại có: CK là phân giác trong của tam giác CBD

=> \(\frac{BK}{KD}=\frac{CB}{CD}\)

Và MB=DC ( theo cm câu a) , CM=CN ( Tam giác CMN cân)

=> CB=DN

=> \(\frac{BK}{KD}=\frac{DN}{MB}\)(5)

Từ (4), (5)

=> ĐPCM

\(\frac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2ab^3-2a^3b+2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-2b\right)-b^3\left(a-2b\right)+2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+2a^2b^2\ge0\left(1\right)\)

Do BĐT trên đối xứng,ko mất tính tổng quát giả sử \(a\le b\)

Khi đó \(\left(a-2b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\ge0\left(true\right)\)

P/S:E ko bt chỗ giả sử có đúng ko nx:(((

\(\left(a-b\right)\left(a-2b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) ạ.em viết nhầm:(((

Ta có \(\left(x+y\right)^5=120y+3< 120\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^4< 120< 4^4\)

\(\Rightarrow x+y< 4\)

Cho mình hỏi đề bài tìm nghiệm nguyên dương chứ nhỉ

Đề bài chỉ nói tìm nghiệm nguyên thôi

Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(

\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)

\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)

\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)

\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)

P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.

Câu hỏi của Lan Anh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

a/ \(Q=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

b/ \(\hept{\begin{cases}x+y=2015\\xy=2016\end{cases}}\)

\(Q^2=x+y+2\sqrt{xy}=2015+2\sqrt{2016}\)

\(\Rightarrow Q=\sqrt{2015+2\sqrt{2016}}\)

Q  \(=\left(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x+y}-xy\right):\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{x}-x\sqrt{y}+y\sqrt{y}\right)\)

Q\(=\left(x^2-xy+y^2-xy\right):\left[\sqrt{x}\left(x-y\right)-\sqrt{y}\left(x-y\right)\right]\)

Q\(=\left(x^2-2xy+y^2\right):\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\left(x-y\right)^2:\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\left(x-y\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right):\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

Q \(=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

C1: Có: \(9.3^{4n}=9.81^n\equiv1.1^n\equiv1\left(mod4\right)\)

\(8.2^{4n}=8.4^{2n}\equiv8\left(-1\right)^{2n}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(2019\equiv3\left(mod4\right)\)

=>  \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019\equiv1-0+3\equiv0\left(mod4\right)\)

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019⋮4\) (1)

Có: \(9.3^{4n}=9.81^n\equiv4.1^n\equiv4\left(mod5\right)\)

\(8.2^{4n}=8.4^{2n}\equiv3.\left(-1\right)^{2n}\equiv3\left(mod5\right)\)

\(2019\equiv-1\left(mod5\right)\)

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019\equiv0\left(mod5\right)\)

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019⋮5\) (2)

Từ (1) và (2) và (4;5)=1 ; 4.5=20

=> \(M=9.3^{4n}-8.2^{4n}+2019\) chia hết cho 20.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)

\(=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

Cần chứng minh \(\frac{\left(Σ_{cyc}a^2\right)^2}{Σ_{cyc}a\left(a^2+ab+b^2\right)}\ge\frac{Σ_{cyc}a}{3}\)

Nhân ra và nó đúng theo BĐT Schur