Ta có: 

\(1+2+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+2+...+n}=\frac{1}{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(\frac{12.2012}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+...+\frac{1}{1+2+...+2012}}\)

\(=\frac{12.2012}{\frac{2}{1.2}+\frac{2}{2.3}+...+\frac{2}{2012.2013}}\)

\(=\frac{6.2012}{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}}\)

\(=\frac{6.2012}{\frac{1}{1}-\frac{1}{2013}}=\frac{6.2012}{\frac{2012}{2013}}=6.2013=12078\)

Ta có:\(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a\left(a+1\right)}{ab}+\frac{b\left(b+1\right)}{ab}\)

\(=\frac{a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)}{ab}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\) là số tự nhiên nên \(\left(a^2+b^2+a+b\right)\) chia hết cho \(ab\)

Vì \(UCLN\left(a,b\right)=d\Rightarrow\)\(a\) chia hết cho \(d\) ; \(b\) chia hết cho \(d\)

\(\Rightarrow ab\) chia hết cho \(d^2\) và \(a^2\) chia hết cho \(d^2\) ; \(b^2\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\) chia hết cho \(d^2\)

Do đó:\(a^2+b^2+a+b\) chia hết cho \(d^2\)

        \(a^2+b^2\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow a+b\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow a+b\ge d^2\left(đpcm\right)\)

Bài này có bạn hỏi rồi. Em vào câu hỏi tương tự !

cái gì vậy

bạn viết gì vậy ??????

Ta biết rằng số nguyên tố lớn hơn 3 thì có 1 trong 2 dạng sau: \(6k+1;6k-1\)

Xét số nguyên tố có dạng: \(6k+1\)

Nếu k chẵn thì \(6k+1\)chia cho 12 dư 1.

Nếu k lẻ thì \(6k+1\)chia cho 12 dư 7.

Xét số nguyên tố dạng \(6k-1\)

Nếu k chẵn thì \(6k-1\)chia cho 12 dư 11.

Nếu k lẻ thì \(6k-1\)chia cho 12 dư 5.

\(\Rightarrow\)Số nguyên tố khi chia cho 12 thì có các số dư như sau: \(1;2;3;5;7;11\)

Từ đây ta thấy rằng trong 7 số nguyên tố bất kỳ sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chi cho 12. Nên hiệu hai số đó sẽ chia hết cho 12.

Vì \(\frac{a+2007}{a-2007}=\frac{b+2008}{b-2008}\)

Suy ra: \(\frac{a+2007}{b+2008}=\frac{a-2007}{b-2008}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì:

\(\frac{a+2007}{b+2008}=\frac{a-2007}{b-2008}=\frac{\left(a+2007\right)+\left(a-2007\right)}{\left(b+2008\right)+\left(b-2008\right)}=\frac{\left(a+2007\right)-\left(a-2007\right)}{\left(b+2008\right)-\left(b-2008\right)}\)

Lấy 2 phân số cuối cùng của dãy tỉ số trên và rút gọn ta được:

\(\frac{2a}{2b}=\frac{2.2007}{2.2008}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{2007}{2008}\)

Ta có:
\(\frac{a+2017}{a-2017}=\frac{b+2018}{b-2018}\)

=>\(\frac{a+2017}{b+2018}=\frac{a-2017}{b-2018}\)

=>\(\frac{a}{b}=\frac{2017}{2018}\)

=>\(\frac{a}{2017}=\frac{b}{2018}\)

Vậy nếu \(\frac{a+2017}{a-2017}=\frac{b+2018}{b-2018}\)thì \(\frac{a}{2017}=\frac{b}{2018}\)

Ta có ; \(\frac{1-x_1}{99}=\frac{2-x_2}{98}=\frac{3-x_3}{97}=...=\frac{99-x_{99}}{1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-x_1}{99}+1=\frac{2-x_2}{98}+1=\frac{3-x_3}{97}+1=...=\frac{99-x_{99}}{1}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{100-x_1}{99}=\frac{100-x_2}{98}=\frac{100-x_3}{97}=...=\frac{100-x_{99}}{1}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{100-x_1}{99}=\frac{100-x_2}{98}=\frac{100-x_3}{97}=...=\frac{100-x_{99}}{1}\)

\(=\frac{\left(100-x_1\right)+\left(100-x_2\right)+\left(100-x_3\right)=...=\left(100-x_{99}\right)}{1+2+3+...+98+99}\)

\(=\frac{100.99-\left(x_1+x_2+x_3+...+x_{99}\right)}{1+2+3+...+99}=\frac{100.99-4950}{\frac{99.100}{2}}=1\)

\(\Rightarrow x_i=100-\left(100-i\right)=i\)với \(i=1,2,3,...,99\)

\(\frac{1-x_1}{99}=\frac{2-x_2}{98}=\frac{3-x_3}{97}=...=\frac{99-x_{99}}{1}=\)\(\frac{\left(1+2+3+..+99\right)-\left(x_1+x_2+x_3+...+x_{99}\right)}{99+98+97+...+1}\)\(=\frac{4950-4950}{4950}=0\)

\(\Rightarrow1-x_1=2-x_2=3-x_3=...=99-x_{99}=0\)

\(\Rightarrow x_i=i-0\left(i=1,2,3,...,99\right)\)

Trên nửa mặt phẳng bờ AD, dựng tam giác đều ADE khác phía với điểm C. Nối E với C.

\(\Delta\)ADE đều => AD=ED=AE và ^DAE=^DEA=ADE=60⁰.

Có: AD=BC => AE=BC

Ta có: ^EAC=^DAE+^CAD=\(60^0+\widehat{CAD}\) \(\left(1\right)\)

Xét \(\Delta\)ABC: Cân tại A => ^B=^C= \(\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}=\frac{120^0+60^0-\widehat{BAC}}{2}\)

Thay \(\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}=60^0\) và \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{BAC}\) vào biểu thức trên, ta được:

\(\widehat{ABC}=A\widehat{CB}=\frac{120^0+\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}-\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)}{2}\)

\(=\frac{120^0+2\widehat{CAD}}{2}=\frac{2\left(60^0+\widehat{CAD}\right)}{2}=60^0+\widehat{CAD}\)\(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{ACB}=60^0+\widehat{CAD}\)

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)CEA có:

BC=EA

^ACB=^EAC         \(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CEA\left(c.g.c\right)\)

AC chung

\(\Rightarrow AB=CE\)(2 cạnh tương ứng). Mà \(AB=AC\Rightarrow AC=CE\)

Xét \(\Delta\)ADC và \(\Delta\)EDC có:

AD=ED

DC chung        \(\Rightarrow\Delta ADC=\Delta EDC\left(c.c.c\right)\)

AC=EC

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{ECD}=\frac{1}{2}\widehat{ECA}\)(2 góc tương ứng). Mà \(\Delta ABC=\Delta CEA\)(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ECA}\)(2 góc tương ứng) \(\Rightarrow\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}\)

Hay \(\widehat{DCA}=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}\).

Còn 3 cách nữa ! :v

* Cách 2:

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng \(\Delta\)BCF đều.

=> BF=CF=BC và ^BFC=^FBC=^FCB=60⁰.

AD=BC => AD=CF.

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}=\frac{3.60^0-\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)}{2}\)

\(=\frac{3.\left(\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}\right)-\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)}{2}=\frac{3\widehat{BAD}+9\widehat{CAD}-\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)}{2}\)

\(=\frac{2\widehat{BAD}+8\widehat{CAD}}{2}=\frac{2\left(\widehat{BAD}+4\widehat{CAD}\right)}{2}=\widehat{BAD}+4\widehat{CAD}\)

Ta có: \(\widehat{FCA}=\widehat{ACB}-\widehat{FCB}=\widehat{ACB}-60^0\)

Thay \(\widehat{ACB}=\widehat{BAD}+4\widehat{CAD}\)và \(\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}=60^0\)vào biểu thức trên ta có:

\(\widehat{FCA}=\widehat{BAD}+4\widehat{CAD}-\left(\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}\right)=\widehat{CAD}\)\(\Rightarrow\widehat{FCA}=\widehat{CAD}\)

\(\Rightarrow\Delta FAC=\Delta DCA\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{FAC}=\widehat{DCA}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\Delta FAB=\Delta FAC\left(c.c.c\right)\Rightarrow\widehat{FAB}=\widehat{FAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{FAC}=\widehat{DCA}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\Rightarrow\widehat{DCA}=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}.\)

* Cách 3:

Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, dựng \(\Delta ABI\)đều.

\(\Rightarrow AB=BI=AI\)và \(\widehat{BAI}=\widehat{ABI}=\widehat{AIB}=60^0\)

Mà \(AB=AC\Rightarrow AC=BI\).

Ta có: \(\widehat{CBI}=\widehat{ABC}-\widehat{ABI}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}-60^0=\widehat{CAD}\)(C/m tương tự cách 2)

\(\Rightarrow\Delta BCI=\Delta ADC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{CIB}=\widehat{DCA}\)(2 góc tương ứng)

Lại có: \(\widehat{CAI}=\widehat{BAI}-\widehat{BAC}=60^0-\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}-\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CAI}=2\widehat{CAD}\).

\(AC=AB=AI\Rightarrow\Delta CAI\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ACI}=\widehat{AIC}=\frac{180^0-\widehat{CAI}}{2}=\frac{3.60^0-2\widehat{CAD}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AIC}=\frac{3.\left(\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}\right)-2\widehat{CAD}}{2}=\frac{3\widehat{BAD}+9\widehat{CAD}-2\widehat{CAD}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AIC}=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}\)

Nhận thấy:

 \(\widehat{CIB}=\widehat{AIC}-\widehat{AIB}=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}-60^0=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}-\left(\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}\right)\)

\(=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}-\frac{2\widehat{BAD}+6\widehat{CAD}}{2}=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{CIB}=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}\). Mà \(\widehat{CIB}=\widehat{DCA}\)(cmt) \(\Rightarrow\widehat{DCA}=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}.\)

* Cách 4: 

Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, dựng \(\Delta ACK\)đều.

\(\Rightarrow AC=AK=CK\)và \(\widehat{CAK}=\widehat{ACK}=\widehat{AKC}=60^0\).

Ta có: \(\widehat{DAK}=\widehat{CAD}+\widehat{CAK}=\widehat{CAD}+60^0=\widehat{ABC}\)(c/m tương tự cách 1 ở câu trả lời trước)

\(\Rightarrow\Delta AKD=\Delta BAC\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{AKD}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{AKD}=\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\).

\(AC=KD\)( 2 cạnh tương ứng) \(\Rightarrow KD=KC\Rightarrow\Delta DKC\)cân tại K 

Lại có: \(\widehat{DKC}=\widehat{AKC}-\widehat{AKD}=60^0-\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)\)

\(=\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}-\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)=2\widehat{CAD}\)\(\Rightarrow\widehat{DKC}=2\widehat{CAD}\)

\(\Delta DKC\)cân tại K (cmt) \(\Rightarrow\widehat{KDC}=\widehat{KCD}=\frac{180^0-\widehat{DKC}}{2}=\frac{3.60^0-2\widehat{CAD}}{2}\)

\(=\frac{3\widehat{BAD}+9\widehat{CAD}-2\widehat{CAD}}{2}=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}\)

\(\widehat{DCA}=\widehat{KCD}-\widehat{ACK}=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}-60^0=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}-\left(\widehat{BAD}+3\widehat{CAD}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DCA}=\frac{3\widehat{BAD}+7\widehat{CAD}}{2}-\frac{2\widehat{BAD}+6\widehat{CAD}}{2}=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{DCA}=\frac{\widehat{BAD}+\widehat{CAD}}{2}.\)

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰ > 1000¹⁰ = 10³⁰

 2¹⁰⁰ = 2³¹ . 2⁶ . 2⁶³ = 2³¹ . 64 . 512⁷ < 2³¹ . 125 . 625⁷ = 2³¹ . 5³ . (5⁴)⁷ = 2³¹ . 5³¹ = 10³¹

10³⁰ < 2¹⁰⁰ < 10³¹

vậy 2¹⁰⁰ có 31 chữ số

co 

31 chu so cac p a      

cho minh DUNG NHE

bài này khó nhất là hai câu a và c.

a) Ta có \(\Delta ADC=\Delta ABE\) (c-g-c) => \(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{ABE}\)(2 c t/ứ )

Gọi giao điểm của AB và CD là K

Ta có: \(\widehat{ADK}+\widehat{AKD}+\widehat{DAK}=180^0\) (Đl Py-ta-go)

\(\widehat{BMK}+\widehat{BKM}+\widehat{KBM}=180^0\)(Đl Py-ta-go)

\(\Rightarrow\widehat{BMK}=\widehat{KAD}=60^0\)\(\Rightarrow\widehat{BMC}=120^0\)

Gọi J là trung điểm DM

C/m \(\Delta DJB=\Delta AMB\) rồi c/m được \(\widehat{BMA}=120^0\)

rồi suy ra \(\widehat{AMC}=120^0\) \(\Rightarrow\)\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\widebat{BMC}\)

bạn vẽ cái ngôi sao 7 cánh rồi kí hiệu các góc cần tính đi đã

Ngôi sao 7 cánh có 7 hình tam giác và 1 đa giác 7 cạnh => Tổng các góc là: \(7\cdot180+900=2160\)