a) Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) và \(b.d>0\) nên suy ra \(ad< bc\).

Tách bất đẳng thức kép cần chứng minh thành 2 bất đảng thức  \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) và  \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Ta cần chứng minh:

     \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

    \(\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< \left(a+c\right)b\) (do b, d > 0)

    \(\Leftrightarrow ab+ad< ab+cb\)

   \(\Leftrightarrow ad< cb\)

Bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) đúng.

Ta cần chứng minh tiếp:

      \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

     \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)d< c\left(b+d\right)\) do b.d > 0

     \(\Leftrightarrow ad+cd< cb+cd\)

    \(\Leftrightarrow ad< cb\)

Bất đẳng thức cuối đúng do giả thiết.

Vậy bài toán được chứng minh

b) Áp dụng câu a ta có:

Từ \(\frac{-1}{3}< \frac{-1}{4}\) => \(\frac{-1}{3}< \frac{-1-1}{3+4}< \frac{-1}{4}\)

Ta lấy phân số xen giữa là \(-\frac{2}{7}\) và ta có: \(\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)

Áp dụng tiếp kết quả câu a ta được:

  \(\frac{-1}{3}< \frac{-1-2}{3+7}< \frac{-2}{7}< \frac{-2-1}{7+4}< \frac{-1}{4}\)

Hay là:

  \(\frac{-1}{3}< \frac{-3}{10}< \frac{-2}{7}< \frac{-3}{11}< \frac{-1}{4}\)

Và 3 phân số xen giữa là: \(-\frac{3}{10};-\frac{2}{7};-\frac{3}{11}\)

a, Ta chứng minh: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\), biết \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{cd}{bd}\)vì \(b>0;d>0\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow ab+d< ba+c\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}\)

Tương tự: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\). Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

b, \(\frac{-1}{3}=\frac{-16}{48}< \frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}< \frac{-12}{48}=\frac{-1}{4}\)

Vậy 3 số hữu tỉ đó là: \(\frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}\)

Phần c đơn giản lắm :) Vừa nghĩ ra tiếp :

Ta có :

• \(4.\left(S_{ABC}\right)^2=\left(2.S_{ABC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(AB.AC\right)^2=\left(AH.BC\right)^2\)

\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2.BC^2\)

Mà \(BC^2=AB^2+AC^2\)( Pythagores )

\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2\left(AB^2+AC^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AB^2+BC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

Vậy...

Ngồi nháp rồi nghĩ ra phần a  :) Sẽ cập nhật khi nghĩ được b , c

[ Tự vẽ hình ]

Áp dụng định lý Pythagores có :

• \(AB^2+AC^2=BC^2\)
• \(AH^2=AC^2-HC^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow AH^2=\frac{AC^2-HC^2+AB^2-HB^2}{2}\)

\(=\frac{\left(AB^2+AC^2\right)-\left(HB^2+HC^2+2HB.HC\right)+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{BC^2-\left(HB+HC\right)^2+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{BC^2-BC^2+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{2HB.HC}{2}\)

\(=HB.HC\)

Vậy \(AH^2=HB.HC.\)

Nhók Bạch Dương: Copy ghê thế!  Mình vừa đưa bài giải xong ,4 tiếng sau có người giải y chang, xóa có đề bài 1 đi, rồi đổi vị trí các các dấu <=> ; => mà tôi đặt để cho mọi người không nhận ra! Tưởng tôi ko biết à?

Bài 1. Đề sai! Sửa lại:  Trong bình có chứa 20 lít rượu, người ta rót 1 phần của nó ra và đổ 1 lượng nước như thế vào bình. Sau đó hoà tan chúng rồi lại rót ra 1 lượng bằng lúc đầu rót ra và lại đổ 1 lượng nước như thế vào bình. Trong bình hiện giờ lượng rượu chỉ bằng 1/2 lượng nước. Tìm lượng nước của người ta đã đổ vào bình mỗi lần.

       Giải

Từ đề bài. Ta có sơ đồ lượng rượu/nước sau khi rót/đổ là:

Rượu: I-----------I                    20 l rượu

Nước: I-----------I-------------I

Vì mỗi lần rót 1 số lượng rượu và đổ vào số lượng nước bằng số lượng rượu đã rót. Vậy mỗi lần rót/đổ vào 2 loại: nước và rượu  và làm như thế 2 lần

=> Số lượng nước mỗi lần rót ra:

20 : (2 x 2) = 5 lít

Đs: 5 lí nước

Bài 2) Giải

Gọi số tiền ban đầu là 100%

Nếu giá tăng lên 20% , lúc đó số tiền anh ấy có = 80% (100% - 20%) số tiền anh có lúc đầu 

=> Số tiền 80% chính là số tiền dùng để mua bánh mì sau khi tăng giá

=> 20% là số tiền để mua chai nước sau khi tăng giá

20% < 80% => Anh ấy đủ số tiền để mua ít nhất 1 chai nước nếu giá tăng lên 20%

Bài 3: Sửa đề: Tháng 9, giá vé mỗi chuyến đi tàu điện là 800 rúp. Tháng 10, giá vé tăng nên số lượng bán giảm đi 25% số tiền thu đc giảm đi 25%. Hỏi giá vé đi tàu điện tháng 10 là bao nhiêu?

Giải

Coi số tiền ban đầu là 100% (tương đương với 800 rúp)

 Vì giá vé tăng, nên số lượng bán giảm đi 25%, vậy số lượng bán lúc này còn:

100% - 25% = 75%

Số tiền thu được giảm đi 25% 

=> Số tiền thu được mỗi vé= 75% (100% - 25%) số tiền ban đầu thu được

=> Giá vé tháng 10 là: 800 x 75% = 600 rúp

Đs:

Ta có \(\frac{x+1}{2001}+\frac{x+2}{2002}+\frac{x+3}{2003}+\frac{x+4}{2004}=4\)

\(\Rightarrow\frac{x+1}{2001}+\frac{x+2}{2002}+\frac{x+3}{2003}+\frac{x+4}{2004}-4=0\)

\(\Rightarrow\frac{x+1}{2001}-1+\frac{x+2}{2002}-1+\frac{x+3}{2003}-1+\frac{x+4}{2004}-1=0\)

\(\Rightarrow\frac{x+1-2001}{2001}+\frac{x+2-2002}{2002}+\frac{x+3-2003}{2003}+\frac{x+4-2004}{2004}=0\)

\(\Rightarrow\frac{x-2000}{2001}+\frac{x-2000}{2002}+\frac{x-2000}{2003}+\frac{x-2000}{2004}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2000\right)\left(\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}+\frac{1}{2004}\right)=0\)

Ta thấy ngay \(\Rightarrow\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}+\frac{1}{2004}\ne0\)

\(\Rightarrow x-2000=0\Rightarrow x=2000.\)

\(\frac{x+1}{2001}+\frac{x+2}{2002}+\frac{x+3}{2003}+\frac{x+4}{2004}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1}{2001}-1\right)+\left(\frac{x+2}{2002}-1\right)+\left(\frac{x+3}{2003}-1\right)+\left(\frac{x+4}{2004}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1-2001}{2001}\right)+\left(\frac{x+2-2002}{2002}\right)+\left(\frac{x+3-2003}{2003}\right)+\left(\frac{x+4-2004}{2004}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2000}{2001}+\frac{x-2000}{2002}+\frac{x-2000}{2003}+\frac{x-2000}{2004}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-200\right)\left[\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}+\frac{1}{2004}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x-2000=0\)

\(\Leftrightarrow x=2000\)

Theo mình nghĩ các bạn nên giải thế này : 

- ) Khi chia cho 11 :

Ta có : 

3⁵ = 243 : 11 dư 1

3²⁰ = 3486784401 : 11 dư 1 

3¹⁰⁰ = 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3⁵⁰⁰ = 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3²⁰⁰⁵ = 3⁵ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

Lại có :

4⁵ = 1024 : 11 dư 1

4²⁰ = 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

4¹⁰⁰ = 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

4⁵⁰⁰ = 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

4²⁰⁰⁵ = 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ = 1 + 1 = 2 ( 2 là số dư )

Vậy 3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ chia cho 11 dư 2

- ) Khi chia cho 13

Ta có :

3⁵ = 243 : 13 dư 9 

3²⁰ = 3486784401 : 13 dư 9

3¹⁰⁰ = 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ = 9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 59049 : 13 dư 1

3⁵⁰⁰ = 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3²⁰⁰⁵ = 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵ = 1 . 1 . 1 . 1 . 9 = 9 ( là số dư ) 

Lại có :

4⁵ = 1024 : 13 dư 10

4²⁰ = 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ = 10 . 10 . 10 . 10 = 10000 : 13 dư 3

4¹⁰⁰ = 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 : 13 dư 9

4⁵⁰⁰ = 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ = 9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 59049 : 13 dư 3

4²⁰⁰⁵ = 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵ = 3 . 3 . 3 . 3 . 10 = 810 : 13 dư 4

3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ = ( 9 + 4 + 13 ) : 13 = 26 : 13 chia hết 

Vậy 3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ chia cho 13 không dư 

hình như đề sai

Bạn alibaba nguyễn sai rồi nên mình sửa lại rồi bạn xem nhé :

Lời giải :

Ta có : \(331\equiv1\left(mod15\right)\)

\(\Rightarrow331^{332}\equiv1^{332}\equiv1\left(mod15\right)\left(1\right)\)

Ta có : \(2^4\equiv1\left(mod15\right)\)

\(\Rightarrow2^{333}=\left(2^4\right)^{83}.2\equiv2\left(mod15\right)\)

\(\Rightarrow332^{333}\equiv2^{333}\equiv2\left(mod15\right)\left(2\right)\)

Ta có : \(3^5\equiv3\left(mod15\right)\)

\(\Rightarrow3^{334}=3^{5.66}.3^4\equiv3^{66}.3^4\equiv3^{70}\equiv\left(3^5\right)^{14}\equiv3^{14}\equiv\left(3^5\right)^2.3^4\equiv3^2.3^4\equiv3^6\equiv9\left(mod15\right)\)

\(\Rightarrow333^{334}\equiv3^{334}\equiv9\left(mod15\right)\left(3\right)\)

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra : \(A\equiv\left(1+2+9\right)\equiv12\left(mod15\right)\)

Vậy A chia cho 15 dư 12

A = (tự chép lại đề)

\(\Leftrightarrow A=\left(330+1\right)^{332}+\left(333-1\right)^{333}+\left(332+1\right)^{334}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(330+1+333-1+332+1\right)+\left(x\right)^{332+333+334}\)

\(\Rightarrow A=996\)

\(\Rightarrow A\)chia 15 dư : \(996:15=66\) dư 6

=> A chia 15 dư 6

X=2 nha em

Bạn chỉ cần áp dụng định lí Py - ta - go phần hình học tập hai là ra thôi !

   x = 2

x = 1

Bảo đảm luôn

Ủa mà đề có đúng ko vậy bạn

a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)

Ta có \(\frac{ax+by}{za+bt}=\frac{bkx+by}{bkz+bt}=\frac{b\left(kx+y\right)}{b\left(kz+t\right)}=\frac{kx+y}{kz+t}\)(1)

\(\frac{cx+yd}{cz+dt}=\frac{dkx+yd}{dkz+dt}=\frac{d\left(kx+y\right)}{d\left(kz+t\right)}=\frac{kx+y}{kz+t}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm.

b) Đặt \(\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=k\Rightarrow a=a_1k;b=b_1k;c=c_1k\)thay vào p;

=> \(p=\frac{a_1kx^2+b_1kx+c_1k}{a_1x^2+b_1x+c_1}=\frac{k\left(a_1x^2+b_1x+c\right)}{a_1x^2+b_1x+c_1}=k\)

Vậy p không phụ thuộc x.

cái này làm thế này