Gọi giao điểm của Am và Bn là C

Ta có: Đường thẳng zz' cắt 2 đường thẳng xx' và yy' lần lượt ở A và B.

=> ^x'Az và ^z'By' là 2 góc trong cùng phía

Mà xx'//yy' => ^x'Az+^z'By'=180⁰ <=> 1/2.(^x'Az+z'By')=90⁰

=> 1/2.^x'Az+1/2.^z'By'=90⁰ 

=> ^mAz+^z'Bn=90⁰ => Tam giác ABC vuông tại C => Am vuông góc với Bn (đpcm)

Kẽ Az bất kỳ cắt Cy tại K (bắt buộc phải cắt nhé)

Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\widehat{KCB}+\widehat{CBA}+\widehat{BAK}+\widehat{KAx}=360^o\\\widehat{KCB}+\widehat{CBA}+\widehat{BAK}+\widehat{AKC}=360^o\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{KAx}=\widehat{AKC}\)

\(\Rightarrow\)Ax // Cy (so le trong)

Ta có: 

\(x^2-6x+14=\left(x-3\right)^2+5>0\)

Vậy đa thức không có nghiệm

\(x^2-6x+14\)

\(=x^2-2.x.3+3^2+14-3^2\)

\(=\left(x-3\right)^2+5\)

Vì \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+5\ge5\forall x\)

Do đó đa thức trên vô nghiệm .

Gọi các phân số phải tìm theo theo thứ tự là a,b,c.Ta có:a+b+c= -187/60

        ta có: a:b:c=2/5:3/4:5/6=0,4:0,75:0,(83)=40:75:83

             dc:a/40=b/75=c/83--->a+b+c/40+75+83= -187/60:45= -17/1080

                 Từ đó :  *a= -17/27

                               *b= -85/72

                                *c= -1411/1080           

                 ĐÚNG 100%  VÌ LÀM ĐI LÀM LẠI LẦN THỨ 3 MỚI RA
 

Bùi Anh Tuấn không đúng 100% đâu.  -187/60:198  chứ không phải -187/60:45

Sửa đề: 

\(\frac{x}{2016}=\frac{y}{2017}=\frac{z}{2018}=\frac{y-x}{1}=\frac{z-y}{1}=\frac{z-x}{2}\)

\(\Rightarrow x-z=2\left(x-y\right)=2\left(y-z\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right)^3=4\left(x-y\right)^2.2\left(y-z\right)=8\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)\)

cảm ơn bạn alibaba nguyễn

Có nhận xét: Các mẫu số là lũy thừa của 2.

Nhân A với 2 ta được:

\(2A=2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{100}{2^{99}}\)

Lấy 2A - A ta có:

\(2A-A=\left(2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{...100}{2^{99}}\right)-\left(1+\frac{3}{2^3}+...+\frac{99}{2^{99}}+\frac{100}{2^{1000}}\right)\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{3}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{2}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)       (1)

Đặt \(B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)         (*)

Ta có: \(2B=2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{98}}\)      (**)

Lấy (**) trừ đi (*) ta có:

   \(2B-B=2-\frac{1}{2^{99}}\)

\(\Rightarrow B=2-\frac{1}{2^{99}}\)

Thay vào (1) ta có:

  \(A=B-\frac{100}{2^{100}}=2-\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}\)

        \(=2-\frac{102}{2^{100}}\)

bn ơi sai đoạn 2a-a rồi phải là \(\frac{100}{2^{100}}\).bn viết thừa 1 số 0

Kéo dài AD cắt EC tại I. Xét tam giác IAC có \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}=45^o\Rightarrow\widehat{AIC}=90^o\Leftarrow AD\perp EC.\)

Xét \(\Delta EAC\) có \(AD\perp EC;EB\perp AC\Rightarrow\) D là trực tâm hay \(DC\perp EA\left(1\right).\)

Tam giác EDC có NP là đường trung bình nên NP // DC (2).

Tam giác EDA có NM là đường trung bình nên NM // AE (3).

Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(MN\perp NP.\)

Lại có \(AE^2=AB^2+EB^2=DB^2+BC^2=DC^2\Rightarrow AE=DC.\)

Mà \(NM=\frac{EA}{2};NP=\frac{DC}{2}\Rightarrow MN=NP\)

Vậy tam giác NMP vuông cân tại N.

Bài này dễ ko í mà

Vẽ phân giác\(\widehat{BIC}\) cắt BC tại F(1).Ta có :\(\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2};\widehat{C_2}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\)(BD,CE lần lượt là phân giác của\(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\): gt)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=180^0-\left(\widehat{B_2}+\widehat{C_2}\right)=180^0-\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=180^0-\frac{180^0-\widehat{A}}{2}=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{I_4}=180^0-\widehat{BIC}=60^0\)(vì kề bù) ;\(\widehat{I_2}=\widehat{I_3}=\frac{\widehat{BIC}}{2}=60^0\)(do (1))

\(\Rightarrow\Delta IBE=\Delta IBF\left(g.c.g\right);\Delta ICF=\Delta ICD\left(g.c.g\right)\)=> IE = IF (2 cạnh tương ứng) ; IF = ID (2 cạnh tương ứng)

=> IE = ID

Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé!

a) Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) và \(b.d>0\) nên suy ra \(ad< bc\).

Tách bất đẳng thức kép cần chứng minh thành 2 bất đảng thức  \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) và  \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Ta cần chứng minh:

     \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

    \(\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< \left(a+c\right)b\) (do b, d > 0)

    \(\Leftrightarrow ab+ad< ab+cb\)

   \(\Leftrightarrow ad< cb\)

Bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) đúng.

Ta cần chứng minh tiếp:

      \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

     \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)d< c\left(b+d\right)\) do b.d > 0

     \(\Leftrightarrow ad+cd< cb+cd\)

    \(\Leftrightarrow ad< cb\)

Bất đẳng thức cuối đúng do giả thiết.

Vậy bài toán được chứng minh

b) Áp dụng câu a ta có:

Từ \(\frac{-1}{3}< \frac{-1}{4}\) => \(\frac{-1}{3}< \frac{-1-1}{3+4}< \frac{-1}{4}\)

Ta lấy phân số xen giữa là \(-\frac{2}{7}\) và ta có: \(\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)

Áp dụng tiếp kết quả câu a ta được:

  \(\frac{-1}{3}< \frac{-1-2}{3+7}< \frac{-2}{7}< \frac{-2-1}{7+4}< \frac{-1}{4}\)

Hay là:

  \(\frac{-1}{3}< \frac{-3}{10}< \frac{-2}{7}< \frac{-3}{11}< \frac{-1}{4}\)

Và 3 phân số xen giữa là: \(-\frac{3}{10};-\frac{2}{7};-\frac{3}{11}\)

a, Ta chứng minh: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\), biết \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{cd}{bd}\)vì \(b>0;d>0\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow ab+d< ba+c\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}\)

Tương tự: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\). Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

b, \(\frac{-1}{3}=\frac{-16}{48}< \frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}< \frac{-12}{48}=\frac{-1}{4}\)

Vậy 3 số hữu tỉ đó là: \(\frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}\)

Phần c đơn giản lắm :) Vừa nghĩ ra tiếp :

Ta có :

• \(4.\left(S_{ABC}\right)^2=\left(2.S_{ABC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(AB.AC\right)^2=\left(AH.BC\right)^2\)

\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2.BC^2\)

Mà \(BC^2=AB^2+AC^2\)( Pythagores )

\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2\left(AB^2+AC^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AB^2+BC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

Vậy...

Ngồi nháp rồi nghĩ ra phần a  :) Sẽ cập nhật khi nghĩ được b , c

[ Tự vẽ hình ]

Áp dụng định lý Pythagores có :

• \(AB^2+AC^2=BC^2\)
• \(AH^2=AC^2-HC^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow AH^2=\frac{AC^2-HC^2+AB^2-HB^2}{2}\)

\(=\frac{\left(AB^2+AC^2\right)-\left(HB^2+HC^2+2HB.HC\right)+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{BC^2-\left(HB+HC\right)^2+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{BC^2-BC^2+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{2HB.HC}{2}\)

\(=HB.HC\)

Vậy \(AH^2=HB.HC.\)