Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\)

\(=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Ta chứng minh bất đẳng thức :

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Vì x, y, z đóng vai trò như nhau nên ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Xét:

 \(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.y}{y.y.z}}=3\sqrt[3]{\frac{x.x.x}{xyz}}=3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Tương tự như thế ta có:

\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3.\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Như vậy:

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

=> \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Dấu "=" khi x=y=z

Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

😂 😂 😂 😂 😂 😂 😂 😂 😂

cau a la cau phu đinh mieu ta , con cau c la cau phu đinh bac bo

minh ket ban nhe

Nếu\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)

Thật vậy:\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\\ \Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Tương tự \(a=b=c\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3abc=3a^3\\a^3+b^3+c^3=3a^3\end{cases}\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc}\)

Áp dụng ta có:\(\orbr{\begin{cases}xy+yz+zx=0\\xy=yz=zx\Rightarrow x=y=z\end{cases}}\)

Khi x=y=z,ta có P=(1+1)(1+1)(1+1)=8

Khi xy+yz+zx=0,ta có:\(xy+yz=-zx\)

Tương tự:\(yz+zx=-xy\)

               \(xy+zx=-yz\)

Ta có \(P=2+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=2+\frac{xz+yz}{z^2}+\frac{xy+xz}{x^2}+\frac{zy+xy}{y^2}\)\(=2-\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\)\(=2-\frac{xy+yz+zx}{xyz}=2-\frac{0}{xyz}=2\)

Vậy P=8 khi x=y=z

      P=2 khi xy+yz+zx=0

kho nhi

a) Nếu góc HAG =45 độ

Xét tam giác IAK và tam giác IDH

có: \(\widehat{IAK}=\widehat{IDH}=45^o\)

\(\widehat{DIH}=\widehat{AIK}\)( đối đỉnh)

=> \(\Delta IAK~\Delta IDH\)

=> \(\frac{IA}{ID}=\frac{IK}{IH}\)

Xét tam giác AID và tam giác KIH có :

\(\frac{IA}{ID}=\frac{IK}{IH}\)

\(\widehat{AID}=\widehat{KIH}\)( đối đỉnh)

=> \(\Delta AID~\Delta KIH\Rightarrow\widehat{IHK}=\widehat{IDA}=45^o\)=> \(\widehat{KHA}=45^o\)

Xét tam giác AKH có : \(\widehat{KAH}=\widehat{AHK}=45^o\)

=> Tam giác HAK vuông cân tại K

b) Gọi N là giao điểm của MG và DC

AH//MG => \(\widehat{AHD}=\widehat{MNC}\)( đồng vị)

AB//DC => \(\widehat{BMG}=\widehat{MNC}\)(so le trong)

Từ 2 điều trên suy ra \(\widehat{AHD}=\widehat{BMG}\)

Xét  2tam giác vuông ADH và GBM có:\(\widehat{AHD}=\widehat{BMG}\)

=> \(\Delta ADH~\Delta GBM\)=> \(\frac{DH}{BM}=\frac{AD}{BG}\)

Đặt cạnh hình vuông bằng a

=> \(DH.BG=a.\frac{a}{2}=\frac{a^2}{2}=DO.BO\)

Vì DO=BO=1/2 BC=1/2.\(\sqrt{a^2+a^2}=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}\)

=> \(\frac{DH}{BO}=\frac{DO}{BG}\)

Xét tam giác DHO và tam giác BOG có: 

\(\frac{DH}{BO}=\frac{DO}{BG}\)

và \(\widehat{ODH}=\widehat{GBO}\)

=> tam giác DHO đồng dạng tam giác BOG

=>\(\widehat{BOG}=\widehat{OHD}\)

Ta lại có: \(\widehat{BOH}=\widehat{ODH}+\widehat{OHD}=\widehat{ODH}+\widehat{BOG}\)( góc ngoài tam giác DOH)

Mặt khác \(\widehat{BOH}=\widehat{BOG}+\widehat{GOH}\)

=> \(\widehat{GOH}=\widehat{ODH}=45^o\)

=> góc HOG không đổi 

ko biết

Đk: x,y,z khác 0.

ta có: \(\left(y-z\right)^2\ge0\Rightarrow y^2+z^2\ge2yz\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge x^2+2yz\Leftrightarrow\frac{yz}{x^2+2yz}\ge\frac{yz}{x^2+y^2+z^2}\)

tương tự thì \(A\ge\frac{xy}{x^2+y^2+z^2}+\frac{yz}{x^2+y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+y^2+z^2}=\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}\)

từ đề bài =>\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

=> A =0

bạn giỏi lắm Nguyễn Thị BÍch Hậu

Ta có :

\(\left(x+y+z\right)^3=1^3=1\)

Có : \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=1-1\)

\(\Rightarrow\left[\left(x+y+z\right)-x\right]\left[\left(x+y+z\right)^2+x^2+x\left(x+y+z\right)\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz-y^2-z^2+yz\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[3x^2+3xy+3yz+3xz\right]=0\)

\(\Rightarrow3\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow\)y+z=0 hoặc x+z=0 hoặc x+y=0

Có : \(A=x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\)

\(=x^{2015}+\left(y+z\right)\left(y^{2014}-y^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)

\(=y^{2015}+\left(x+z\right)\left(x^{2014}-x^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)​

​\(=z^{2015}+\left(x+y\right)\left(x^{2014}-x^{2013}y+...+y^{2014}\right)\)

Với \(x+y=0\Rightarrow z=1\Rightarrow A=1+0=1\)

Tương tự với \(y+z=0;z+x=0\)đều có A=1
Vậy ...
 

Kinh quá hoa hết cả mắt. 

Bài 2 : 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}\)

Mà \(2018=a+b+c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{c-a-b-c}{c\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)=-ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)=0\)

TH1 : \(a+b=0\Leftrightarrow a=-b\)

\(M=\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2014}}=\frac{1}{-b^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2014}}=\frac{1}{c^{2014}}\)

Mà \(a+b+c=2018\)

\(\Leftrightarrow-b+b+c=2018\)

\(\Leftrightarrow c=2018\)

Khi đó \(M=\frac{1}{2018^{2017}}\)

Các trường hợp còn lại tương tự

Kết quả cuối cùng : \(M=\frac{1}{2018^{2017}}\)

Câu hỏi của nguyễn thị phượng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài 2 ở link này nhé!

d)  2 tam giác MCN và ACN có cùng chiều cao hạ từ C đến AN nên: \(\frac{S_{MCN}}{S_{ACN}}=\frac{MN}{AN}\)                              (1)

2 tam giác BMN và ABN có cùng chiều cao hạ từ B đến AN nên: \(\frac{S_{BMN}}{S_{ABN}}=\frac{MN}{AN}\)                                 (2)

Từ  (1)  và  (2)  ta suy ra \(\frac{MN}{AN}=\frac{S_{MCN}}{S_{ACN}}=\frac{S_{BMN}}{S_{ABN}}=\frac{S_{MCN}+S_{BMN}}{S_{ACN}+S_{ABN}}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{MN}{AN}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{MP}{BP}=\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}\)và \(\frac{MQ}{CQ}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}\)

Do đó \(\frac{MN}{AN}+\frac{MP}{BP}+\frac{MQ}{CQ}=\frac{S_{MBC}+S_{AMC}+S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)(đpcm).

a) Tg OBD và Tg ECO có 
g OBD = g ECO (tg ABC cân tại A) (1) 
g BOD = g OEC (gt) (2) 
(1) và (2) => Tg OBD đồng dạng Tg ECO 
=>OB/EC = BD/CO => OB*CO = EC*BD. 
Mà OB = CO => OBbình = EC*BD 
b) Ta có: gDOE = 180 độ - (gBOD + gEOC) 
= 180 độ - (gOEC + gCOE) 
= 180 độ - (180 độ - gOCE) 
= gOCE = gBCA = const (3) 
c) Theo câu a: Tg OBD đồng dạng Tg ECO => OD/EO = BD/CO => OD/ EO = BD/BO => 
=> OD*BO = EO*BD => EO/OB = OD/BD (4) 
Mặt khác: từ(3) =>gDOE = gOBD (5) 
từ (4) và (5) => TgEOD đồng dạng TgOBD 

Đặt \(B=xy=2013-A\) thế vô cái cần tìm thì được

\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+20x^4-10x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+1+B^2=0\)

\(\Leftrightarrow B^2=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{20}x^2-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le B\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le2013-A\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2012,3\le A\le2013,5\)

bạn chưa ghi gtnn , gtln xảy ra khi x=? và y=?