Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)

\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)

k biet nen k tra loi

tham khảo Câu hỏi của Đỗ Thu Hà - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Câu 1 là \(\left(8x-4\right)\sqrt{x}-1\) hay là \(\left(8x-4\right)\sqrt{x-1}\)?

Câu 1:ĐK \(x\ge\frac{1}{2}\)

\(4x^2+\left(8x-4\right)\sqrt{x}-1=3x+2\sqrt{2x^2+5x-3}\)

<=> \(\left(4x^2-3x-1\right)+4\left(2x-1\right)\sqrt{x}-2\sqrt{\left(2x-1\right)\left(x+3\right)}\)

<=> \(\left(x-1\right)\left(4x+1\right)+2\sqrt{2x-1}\left(2\sqrt{x\left(2x-1\right)}-\sqrt{x+3}\right)=0\)

<=> \(\left(x-1\right)\left(4x+1\right)+2\sqrt{2x-1}.\frac{8x^2-4x-x-3}{2\sqrt{x\left(2x-1\right)}+\sqrt{x+3}}=0\)

<=>\(\left(x-1\right)\left(4x+1\right)+2\sqrt{2x-1}.\frac{\left(x-1\right)\left(8x+3\right)}{2\sqrt{x\left(2x-1\right)}+\sqrt{x+3}}=0\)

<=> \(\left(x-1\right)\left(4x+1+2\sqrt{2x-1}.\frac{8x+3}{2\sqrt{x\left(2x-1\right)}+\sqrt{x+3}}\right)=0\)

Với \(x\ge\frac{1}{2}\)thì \(4x+1+2\sqrt{2x-1}.\frac{8x-3}{2\sqrt{x\left(2x-1\right)}+\sqrt{x+3}}>0\)

=> \(x=1\)(TM ĐKXĐ)

Vậy x=1

hpt \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}5\left(x+y\right)^2+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}-12xy=\frac{251}{5}\\\frac{\left(x+y\right)^2+1}{x+y}=5-\left(x-y\right)\end{cases}}\) (*) 

đặt \(\left(a;b\right)=\left(x+y;x-y\right)\)\(\left(a\ne0\right)\)

hệ (*) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}5a^2+\frac{2}{a^2}-3\left(a^2-b^2\right)=\frac{251}{5}\\b=5-\frac{a^2+1}{a}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}25a^4-150a^3+154a^2-150a+25=0\left(1\right)\\b=5-\frac{a^2+1}{a}\end{cases}}\)

pt (1) \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a=\frac{1}{5}\Rightarrow b=\frac{-1}{5}\\a=5\Rightarrow b=\frac{-1}{5}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(\left(x;y\right)=\left\{\left(0;\frac{1}{5}\right);\left(\frac{12}{5};\frac{13}{5}\right)\right\}\)

GỌI CÁC CẠNH AB , AC , BC LẦN LƯỢT LÀ a , b , c => \(a^2+b^2=c^2\)

TA CÓ DIỆN TÍCH TAM GIÁC ABC = ab / 2

MẶT KHÁC S DIỆN TÍCH TAM GIÁC ABC = r ( a + b + c ) / 2

=> r = \(\frac{ab}{2}.\frac{2}{a+b+c}\)

=> \(r^2=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

TA CÓ AH = \(\frac{ab}{c}\)

          BH = \(\frac{a^2}{c}\)

          CH = \(\frac{b^2}{c}\)

CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ TRÊN TA ĐƯỢC

\(r_1^2=\frac{AH^2.BH^2}{\left(AB+AH+BH\right)^2}=\left(\frac{\frac{ab}{c}.\frac{a^2}{c}}{\frac{ab+a^2+ac}{c}}\right)^2=\left(\frac{a^2b}{c\left(a+b+c\right)}\right)^2\)

                                                                                   = \(\frac{a^4b^2}{c^2\left(a+b+c\right)^2}\)

\(r_2^2=\frac{a^2b^4}{c^2\left(a+b+c\right)^2}\)

=> \(r_1^2+r_2^2=\frac{a^2b^2\left(a^2+b^2\right)}{c^2\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2b^2c^2}{c^2\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+c\right)^2}=r^2\)

=> đpcm

Với dữ kiện đề bài \(a+b+c+2=abc\) ta đặt:

\(a=\frac{y+z}{x};b=\frac{x+z}{y};c=\frac{x+y}{z}\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3}{2}\)

=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)

BĐT<=> \(\sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}+\sqrt{\frac{b^2-1}{b^2}}+\sqrt{\frac{c^2-1}{c^2}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

<=> \(\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Áp dụng BĐT buniacoxki cho VT ta có :

\(VT\le\sqrt{3.\left(3-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}\right)}\le\sqrt{3\left(3-\frac{3}{4}\right)}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

Khó quáaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Gợi ý :

Cậu kẻ thêm các hbh HBMC , IHCN là làm đc nhá'

##

tớ củng đang thắc mcs bì nay đây

\(ĐK:x^2\ge\sqrt{\frac{5}{6}}\)

Vì \(x^2\ge\sqrt{\frac{5}{6}}\Rightarrow\frac{5}{x^2}>0;6x^2-1>0\), theo AM - GM, ta có:

\(\sqrt{30-\frac{5}{x^2}}=\sqrt{\frac{5}{x^2}\left(6x^2-1\right)}\le\frac{\frac{5}{x^2}+\left(6x^2-1\right)}{2}\)

Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{5}{x^2}=6x^2-1\Leftrightarrow x=\pm1\)

Vì \(x^2\ge\sqrt{\frac{5}{6}}\Rightarrow6x^2-\frac{5}{x^2}\ge0\),theo Cô - si ta có \(\sqrt{6x^2-\frac{5}{x^2}}=\sqrt{\left(6x^2-\frac{5}{x^2}\right).1}\le\frac{\left(6x^2-\frac{5}{x^2}\right)+1}{2}\)

Dấu "="\(\Leftrightarrow6x^2-\frac{5}{x^2}=1\Leftrightarrow x=\pm1\)

Vậy ta có \(VT\le\frac{\frac{5}{x^2}+6x^2-1+6x^2-\frac{5}{x^2}+1}{2}=6x^2\)

Dấu "=" khi \(x=\pm1\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\left\{\pm1\right\}\)

\(\sqrt{30-\frac{5}{x^2}}+\sqrt{6x^2-\frac{5}{x^2}}=6x^2\)

\(\Leftrightarrow30-\frac{5}{x^2}+6x^2-\frac{5}{x^2}+2\sqrt{\left(30-\frac{5}{x^2}\right)\left(6x^2-\frac{5}{x^2}\right)}=6x^2\)

\(\Leftrightarrow30-\frac{10}{x^2}+2\sqrt{\left(30-\frac{5}{x^2}\right)\left(6x^2-\frac{5}{x^2}\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow30-\frac{10}{x^2}+2\sqrt{180x^2-30-\frac{150}{x^2}+\frac{25}{x^4}}=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{180x^2-30-\frac{150}{x^2}+\frac{25}{x^4}}=\frac{10}{x^2}-30\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{180x^2-30-\frac{150}{x^2}+\frac{25}{x^4}}\right)^2=\left(\frac{10}{x^2}-30\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(180x^2-30-\frac{150}{x^2}+\frac{25}{x^4}\right)=\frac{100}{x^4}-\frac{600}{x^2}+900\)

\(\Leftrightarrow720x^2-120-\frac{600}{x^2}+\frac{100}{x^4}=-\frac{600}{x^2}+\frac{100}{x^4}+900\)

\(\Leftrightarrow720x^2-120=900\)

\(\Leftrightarrow720x^2=1020\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{17}{12}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{\frac{17}{12}}\)

P/s không biết làm có sai ko nhưng tham khảo nha

Xét Bất đẳng thức phụ:

\(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2\le a^3+b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự ta có:

\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\le2a-c\);\(\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2c-b\)

Cộng lại theo vế ta có:

\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2b-a+2a-c+2c-b=a+b+c=2007\)

Đpcm

pịa pịa pịa 

bđt tương đường với:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Mật khác theo BĐT Cauchy-Schwart ta có:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

Vậy để cm bài toán ta cần chứng minh được

\(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Đây chính là BĐT Schur dang phân thức. Bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c và a=b=c=0 và hoán vị

Em xin lỗi cô và các bạn! Em giải lại ạ

Giải

Biến đổi tương đương BĐT như sau:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(c^2+a^2\right)}{a+c}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{c\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]}{a+b}+\frac{a\left[\left(b+c\right)^2-2bc\right]}{b+c}+\frac{b\left[\left(c+a\right)^2-2ca\right]}{c+a}\le a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le a^2+b^2+c^2+abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

Theo BĐT dang \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\), ta được

\(a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\)

Ta cần chỉ ra được \(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\), BĐT này tương đương với

\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)

BĐT trên là hệ quả của BĐT Schur

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c