\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{c+a}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ac}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\)

Thay vào M được \(M=\frac{3a^2}{3a^2}=1\)

bằng 1

Ta có:ab\(\ge\)10\(\Rightarrow\)ab²\(\ge\)100\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\ge100\Rightarrow a+b\ge4\)

Mặt khác:ab\(\le\)99\(\Rightarrow\)ab²\(\le\)9801\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le9801\Rightarrow a+b\le21\)

Với a+b=4 thì ab²=64\(\Rightarrow\)ab=8(loại)

Với a+b=5 thì ab²=125(loại)

Với a+b=6 thì ab²=216(loại)

Với a+b=7 thì ab²=343(loại)

Xét lần lượt đến a+b=21 thì ta thấy có ab\(\in\){27,64} thỏa mãn bài toán

Từ đầu bài, đặt ab = x³ ; a+b=x² (x thuộc N)

Vì 10 < ab < 100 => 8 < ab < 125 => 2³ < x³ < 5³ => 2<x<5

=> x=3 hoăc x=4

+) Xét x=3 ta có: x³ = 3³ = 27

=> a = 2; b = 7 thỏa mãn ab² = (a+b)³ 

Vì 27² = (2+7)³ (=729)

+) xét x=4 ta có: x³=4³=64

=> a=6;b=4 thỏa mãn ab² = (a+b)³

Vì 64² \(\ne\) (6+4)³

Vậy ab = 27

sao lại \(\widehat{ACB}=\frac{1}{3}.\widehat{ACB}\)???

Mình nghĩ nên sửa đề lại 1 chút :

D là 1 điểm trên AC sao cho\(\widehat{ABD}=\frac{1}{3}\widehat{ABC}\).E là 1 điểm trên AB sao cho\(\widehat{ACE}=\frac{1}{3}\widehat{ACB}\)

Sau đây là hình vẽ :

a/ Xét \(\Delta EFM\)và \(\Delta QFP\)có

\(\hept{\begin{cases}EF=QF\\\widehat{EFM}=\widehat{QFP}\\FM=FP\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta EFM=\Delta QFP\)

\(\Rightarrow EM=QP\)

Mà \(EM=NE\Rightarrow NE=QP\)

b/ Từ câu a ta có \(\widehat{EMF}=\widehat{QPF}\)

\(\Rightarrow\widehat{EPQ}=\widehat{EPM}+\widehat{FPQ}=\widehat{EPM}+\widehat{EMF}=\widehat{NEP}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta NEP\) và \(\Delta QPE\)có

\(\hept{\begin{cases}EP\left(chung\right)\\NE=QP\\\widehat{NEP}=\widehat{QPE}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta NEP=\Delta QPE\)

c/ Từ câu b/ ta suy ra \(\widehat{NPE}=\widehat{PEQ}\)

=>EF // NP

Lại từ câu b ta có

\(NP=EQ=EF+FQ=2EF\)

\(\Rightarrow EF=\frac{1}{2}NP\)

bài này động đến đường trung bình của tam giác 

nếu khó hơn thì học sẽ ko cho trc điểm Q và các câu a và b

Thế x = 2 và x = \(\frac{1}{2}\)và phương trình đầu ta được

\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=4\\f\left(\frac{1}{2}\right)+3f\left(2\right)=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-3f\left(2\right)\left(1\right)\\f\left(2\right)+3.\left(\frac{1}{4}-3f\left(2\right)\right)=4\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: (2) <=> 32f(2) + 13 = 0

\(\Leftrightarrow f\left(2\right)=\frac{-13}{32}\) 

Tham gia cho nó đông vui.vắng vẻ quá

\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=4\\f\left(\frac{1}{2}\right)+3f\left(2\right)=\frac{1}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=4\\3f\left(\frac{1}{2}\right)+9f\left(2\right)=\frac{3}{4}\end{cases}}\)

Trừ cho nhau

\(8f\left(2\right)=\left(\frac{3}{4}-4\right)=-\frac{13}{4}\Rightarrow f\left(2\right)-\frac{13}{32}\)

P/s: Với giá trị nào của x thì f(x) nhận giá trị không âm

DO A LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG VÀ A KHÁC 0 , A CÓ 1 CHỮ SỐ

=> A CÓ THỂ BẰNG 1 . 4 . 9

+, TH1 : A = 1

=> 1D LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> D = 6

=> C6 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> C = 3 HOẶC BẰNG 1( TH 1 KHÔNG THỎA MÃN)

=> 1B36 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> B = 9 ( DO 44^2 = 1936

+. TH2 : A= 4

=> 4D LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 

=> D = 9

=> C9 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> C HOẶC BẰNG 0 , HOẶC BẰNG 4

+. NẾU C = 0

=> 4B09 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> LOẠI DO KHÔNG CÓ B THỎA MÃN

+, NẾU C = 4

=> 4B49 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> KHÔNG TỒN TẠI B THỎA MÃN

+, A = 9

=> 9D LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 

=> KHÔNG TÍM THẤY D THỎA MÃN

 VẬY A= 1 , B = 9 , C=3 , D=6

a=1,4,9.

Nếu a=1→b=6→c=9, nhưng không có d thỏa mãn giả thiết

Nếu a=4→b=9, nhưng không có c thỏa mãn giả thiết.

Nếu a=9→b=, nhưng khôn có c thoản mãn giả thiết.

Vậy không tồn tại a,b,c,d thỏa đề ra !

Gọi 2 nhà "thông thái" vẫn cười... vô tư là A và B, nhà thông thái ngừng cười là C. 
Ông C nghĩ như sau: 
1- Người ta chỉ cười khi người khác bị bôi nhọ còn mình thì không sao. 
2- Cả 3 đều là thông thái nên trình độ suy luận là suýt soát nhau. 
3- (Quan trọng nhất !) Vì một lúc sau cả 3 vẫn cười nên C đặt mình vào vị trí của A và nghĩ rằng: A nghĩ B có nhọ, còn A thì không, nhưng nếu C cũng không có nhọ vậy thì B cười ai ? Rõ ràng là B cười A , nghĩ vậy A sẽ thôi cười. Nhưng thực tế A vẫn cười suy ra A đã nhìn thấy C có nhọ.

nhà thông thái nghĩ: 2 người kia nhìn mình cười thì trên mặt mình chắc cũng bị bôi nhọ giống như 2 người kia

Tại thời điểm lần gặp nhau thứ nhất thì cả hai xe đi được cả quãng đường AB.

Tại thời điểm lần gặp nhau thứ hai, cả hai xe đi được 3 lần quãng đường AB.

Tại thời điểm gặp nhau lần thứ nhất xe đi từ A đi được 5km => Tại lần gặp nhau thứ hai, mỗi xe đều đi gấp 3 lần quãng đường so với lần gặp nhau đầu => Tại lần gặp nhau thứ hai xe thứ nhất đi được 5 x 3 = 15 km.

Theo sơ đồ trên ta có: 15 = AB + 3  => AB = 15 - 3 = 12 (km)

Vậy quãng đường AB dài 12 km

ại thời điểm lần gặp nhau thứ nhất thì cả hai xe đi được cả quãng đường AB.
Tại thời điểm lần gặp nhau thứ hai, cả hai xe đi được 3 lần quãng đường AB.
Tại thời điểm gặp nhau lần thứ nhất xe đi từ A đi được 5km => Tại lần gặp nhau thứ hai, mỗi xe đều đi gấp 3 lần quãng đường so với lần gặp nhau đầu => Tại lần gặp nhau thứ
hai xe thứ nhất đi được 5 x 3 = 15 km.
Theo sơ đồ trên ta có: 15 = AB + 3 => AB = 15 - 3 = 12 (km)
Vậy quãng đường AB dài 12 km

Trên tia đối của BE lấy điểm M sao cho BM=AC

Trên tia đố của CF lấy điểm N sao cho CN=AB.

Ta có:       ^ABE+^BAE=^ABE+^BAC=90⁰ (vì tam giác AEB vuông tại E)

Tương tự: ^ACF+^CAF=^ACF+^BAC=90⁰

=> ^ABE=^ACF => 180⁰ - ^ABE = 180⁰ - ^ACF => ^MBA=^ACN

Xét \(\Delta\)BMA và \(\Delta\)CAN:

BM=AC

^MBA=^ACN   => \(\Delta\)BMA=\(\Delta\)CAN (c.g.c)

AB=CN

=> MA=AN (2 cạnh tương ứng)

Lại có: BE+AC=BA+CF (giả thiết). Thay AB=CN, AC=BM, ta được:

BE+BM=CN+CF => EM=FN

Xét \(\Delta\)AEM và \(\Delta\)AFN:

AM=AN (cmt)

^AEM=^AFN=90⁰          => \(\Delta\)AEM=\(\Delta\)AFN (Cạnh huyền cạnh góc vuông)

EM=FN

=> ^AME=^ANF (2 góc tương ứng) hay ^AMB=^ANC (1)

Mà \(\Delta\)BMA=\(\Delta\)CAN (cmt) => ^AMB=^NAC (2)

Từ (1) và (2) => ^ANC=^NAC => \(\Delta\)ACN cân tại C => AC=CN.

Mà CN=AB => AB=AC => \(\Delta\)ABC cân tại A (đpcm).