Đặt biểu thức trên là A

-Trường hợp a chia hết b:

Ta có: A nguyên nên a^2 + b^2 chia hết ab

Do a chia hết b => a^2 chia hết ab. Mà a^2 + b^2 chia hết ab => b^2 chia hết ab <=> b chia hết a

=> a=b

=> (a^2+b^2)/ab= 2a^2/a^2=2

-Trường hợp a không chia hết b, hoặc b không chia hết a:

A= (a^2+b^2-2ab)/ab + 2= (a-b)^2/ab + 2

Do A nguyên nên (a-b)^2/ab nguyên <=> a-b chia hết ab

Mà a,b nguyên nên: \(a< b\left(a+1\right)\) <=> \(a-b< ab\)

Mà a-b chia hết ab => \(a-b\ge ab\)

=> Phương trình vô nghiệm ở trường hợp này.

Vậy A chỉ thỏa mãn giá trị =2 khi và chỉ khi a=b với a,b thuộc N*

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức Cô - si có 3 và 4 số, ta có:

\(\frac{a}{18}+\frac{b}{24}+\frac{2}{ab}\ge3.\sqrt[3]{\frac{a}{18}.\frac{b}{24}.\frac{2}{ab}}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a}{9}+\frac{c}{6}+\frac{2}{ac}\ge3.\sqrt[3]{\frac{a}{9}.\frac{c}{6}.\frac{2}{ac}}=1\)

\(\frac{b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{2}{bc}\ge3.\sqrt[3]{\frac{b}{16}.\frac{c}{8}.\frac{2}{bc}}=\frac{3}{4}\)

\(\frac{a}{9}+\frac{b}{12}+\frac{c}{6}+\frac{8}{abc}\ge4.\sqrt[4]{\frac{a}{9}.\frac{b}{12}.\frac{c}{6}.\frac{8}{abc}}=\frac{4}{3}\)

\(\frac{13a}{18}+\frac{13b}{24}\ge2\sqrt{\frac{13a}{18}.\frac{13b}{24}}\ge2\sqrt{\frac{13.13.12}{18.24}}=\frac{13}{3}\)

\(\frac{13c}{24}+\frac{13b}{48}\ge2\sqrt{\frac{13c}{24}.\frac{13b}{48}}\ge2\sqrt{\frac{13.13.8}{24.48}}=\frac{13}{6}\)

Cộng vế với vế ta có: 

\(a+b+c+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{8}{abc}\ge\frac{121}{12}\)

Hoàng Thị Thu Huyền giỏi thế bạn học thế nào vậy

Sai đề rồi bạn ơi

Nếu đề là thế này thì mình ms làm được:

Cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) và \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\).CMR:\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

có thể đề như này : cho x/a+y/b+z/c=0 CM: (x/a)^3+(y/b)^3+(z/c)^3=(3xyz)/abc

Vì \(P\left(x\right)⋮7\forall x\) nên ta có :

\(P\left(0\right)=e⋮7\)

\(P\left(1\right)=a+b+c+d+e⋮7\)

\(P\left(-1\right)=a-b+c-d+e⋮7\)

\(\Rightarrow P\left(1\right)+P\left(-1\right)=\left(2a+2c+2e\right)⋮7\Rightarrow\left(a+c\right)⋮7\)

\(P\left(1\right)-P\left(-1\right)=\left(2b+2d\right)⋮7\Rightarrow\left(b+d\right)⋮7\)

\(P\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=\left(14a+7b\right)+\left(2a+b+4c+2d+e\right)\)

\(\Rightarrow2a+b+4c+2d⋮7\)

\(P\left(-2\right)=16a-8b+4c-2d+e\)

\(\Rightarrow P\left(2\right)+P\left(-2\right)=32a+8c+2e\)

\(\Rightarrow4a+c⋮7\)

Do \(\left(a+c\right)⋮7\Rightarrow3a⋮7\Rightarrow a⋮7\Rightarrow c⋮7\)

\(P\left(2\right)-P\left(-2\right)=16b+4d\)

\(\Rightarrow\left(b+2d\right)⋮7\Rightarrow d⋮7\Rightarrow b⋮7\)

Vậy nên a, b, c, d, e đều chia hết cho 7.

Cách làm khác 1 chút .

\(F\left(x\right)=G\left(x\right).H\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right).H\left(x\right).\)

+Với \(x=1\Rightarrow F\left(x\right)=0\Leftrightarrow1+a+b=0\Rightarrow a+b=-1.\)(1)

+ Với x = -2 \(\Rightarrow F\left(x\right)=0\Leftrightarrow-8-2a+b=0\Rightarrow2a-b=-8.\)(2)

(1)(2) => a =-3 ; b =2

Vậy + P= ( -3 +2 ) ² +10 = 11 là số nguyên tố

Ta có

\(x^3+ax+b=\left(x-1\right)\left(x^2+x-2\right)+\left(a+3\right)x+b-2\)

Để đây là phép chia hết thì phần dư phải bằng 0 hay

\(\hept{\begin{cases}a+3=0\\b-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b\right)^2+10=\left(-3+2\right)^2+10=11\)

Vậy P là số nguyên tố

Ta có:\(m^4+4=m^4+4m^2+4-4m^2=\left(m^2+2\right)^2-4m^2=\left(m^2-2m+2\right)\left(m^2+2m+2\right)\)

Để \(m^4+4\) là số nguyên tố thì ta có 2 trường hợp xảy ra:

TH1:\(\hept{\begin{cases}m^2-2m+2=1\\m^2+2m+2=m^4+4\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m\left(m-2\right)=-1\\m\left(-m^3+m+2\right)=2\end{cases}}\).Từ hai pt trên ta có thể suy ra:m=1 thỏa mãn

TH2:\(\hept{\begin{cases}m^2-2m+2=m^4+4\\m^2+2m+2=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m\left(m-2-m^3\right)=2\\m\left(m+2\right)=-1\end{cases}}\).Tương tự TH1 ta cũng có:m=-1 thỏa mãn

Thay vào \(A=m^4+m^2+1\) ta thấy x=1 và x=-1 đều thỏa mãn

Vậy x\(\in\left\{-1,1\right\}\) thỏa mãn bài toán

Cho mình thêm đoạn cuối với,mình đọc thiếu đề.Bạn thêm cho mình:

  Vì \(m\in N\) nên \(m=1\) thỏa mãn

Vậy chỉ có m=1 thỏa mãn bài toán

Ta có:\(a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}-a-b-c\)

\(=a.\left(a^{2016}-1\right)+b.\left(b^{2016}-1\right)+c.\left(c^{2016}-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a^{2015}+...+a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b^{2015}+...+b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c^{2015}+...+c+1\right)\)

Ta có:\(a^{2015}+a^{2014}+.....+a+1=a^{2014}\left(a+1\right)+.......+a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(a^{2014}+a^{2012}+.......+1\right)\)\(\Rightarrow a^{2017}-a\) chia hết cho cả 2 và 3

\(\Rightarrow a^{2017}-a⋮6\).Tương tự ta cũng có:\(\hept{\begin{cases}b^{2017}-b⋮6\\c^{2017}-c⋮6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}-\left(a+b+c\right)⋮6\) mà \(a+b+c⋮6\Rightarrow a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}⋮6\)

\(\Rightarrowđpcm\)

sai bét