Hãy tìm số A, biết rằng ta thêm vào số A là 12 đơn vị rồi đem tổng tìm được chia cho 5 thì dư 2, nếu thêm vào số A là 19 đơn vị rồi đem tổng chia cho 6 thì dư 1, chia cho 7 dư 5 và số A lớn hơn 200 và nhỏ hơn 300

Hãy tìm số A, biết rằng ta thêm vào số A là 12 đơn vị rồi đem tổng tìm được chia cho 5 thì dư 2, nếu thêm vào số A là 19 đơn vị rồi đem tổng chia cho 6 thì dư 1, chia cho 7 dư 5 và số A lớn hơn 200 và nhỏ hơn 300

làm r đấy nhó

Xét \(A+12\)chia 5 dư 2 \(\Rightarrow\left(A+12\right)-2⋮5\Rightarrow A+10⋮5\Rightarrow A⋮5\)(vì \(10⋮5\))

Xét \(A+19\)chia 6 dư 1 \(\Rightarrow\left(A+19\right)-1⋮6\Rightarrow A+18⋮6\Rightarrow A⋮6\)(vì \(18⋮6\))

Xét \(A+19\)chia 7 dư 5 \(\Rightarrow\left(A+19\right)-5⋮7\Rightarrow A+14⋮7\Rightarrow A⋮7\)(vì \(14⋮7\))

Vậy A chia hết cho cả 5,6,7 vậy A có dạng \(5\times6\times7\times k=210\times k\)với k là số tự nhiên

Mà \(200< 210\times k< 300\Rightarrow k=1\Rightarrow A=210\)

Đánh số các người tham gia từ \(A_1\)đến \(A_{16}\).

Giả sử \(A_1\)thắng nhiều nhất. 

Có: \(\frac{16\times15}{2}=120\)(ván đấu) suy ra \(A_1\)thắng \(\ge\frac{120}{16}=7,5\)

suy ra \(A_1\)thắng ít nhất \(8\)ván. 

Không mất tính tổng quát, giả sử \(A_1\)thắng \(A_2,A_3,...,A_9\).

Giả sử trong những người này \(A_2\)thắng nhiều nhất.

\(A_2,...,A_9\)đánh \(\frac{8\times7}{2}=28\)(ván) suy ra \(A_2\)thắng \(\ge\frac{28}{8}=3,5\)

suy ra \(A_2\)thắng ít nhất \(4\)ván (khi đấu với \(A_3,...,A_9\))

Giả sử \(A_2\)thắng \(A_3,...,A_6\).

Giả sử \(A_3\)thắng nhiều nhất trong những người này. 

\(A_3,...,A_6\)đánh \(\frac{4\times3}{2}=6\)(ván) suy ra \(A_3\)thắng \(\ge\frac{6}{4}=1,5\)

suy ra \(A_3\)thắng ít nhất \(2\)ván. 

Giả sử \(A_3\)thắng \(A_4,A_5\). 

Khi đó giả sử \(A_4\)thắng \(A_5\)thì ta có dãy thỏa mãn là: \(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\). 

Ta có đpcm. 

linh tinh

Ta có: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)

\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}>1\)

mà \(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)+\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}\right)\)

\(=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}=4\)

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)là số nguyên 

do đó \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b}-\frac{b}{b+c}+\frac{d}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(c+d\right)\left(d+a\right)-d\left(a+b\right)\left(b+c\right)=0\)(vì \(a\ne c\))

\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ac-bd\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ac=bd\)(vì \(b\ne d\))

Khi đó \(abcd=ac.ac=\left(ac\right)^2\)là số chính phương. 

Mình mới thử chương trình lớp 9 nên chưa hiểu nhiều lắm. Cảm ơn nhé!

a) Ta có 27¹¹ = (3³)¹¹ = 3³³

81⁸ = (3⁴)⁸ = 3³²

Vì 32 < 33

=> 3³² < 3³³

=> 81⁸ < 27¹¹

b) Ta có 625⁵ = (5⁴)⁵ = 5²⁰

125⁷ = (5³)⁷ = 5²¹

Vì 20 < 21

<=> 5²⁰ < 5²¹

=> 625⁵ < 125⁷

c) Ta có 5³⁶ = (5³)¹² = 125¹²

11²⁴ = (11²)¹² = 121¹²

Vì 125 > 121

<=> 125¹² > 121¹²

<=> 5³⁶ > 11²⁴

a. 27¹¹ và 81⁸

Ta có :

81⁸ = ( 27 ) ^{3 . 8} = 27²⁴

Ta có : 27¹¹ < 27²⁴

=> 27¹¹ < 81⁸

Vậy 27¹¹ < 81⁸

b. 625⁵ và 125⁷

Ta có :

625⁵ = ( 125 )^{5 . 7} = 125³⁵

Ta có : 125³⁵ > 125⁷

=> 625⁵ > 125⁷

Vậy  625⁵ > 125⁷

c. 5³⁶ và 11²⁴

Ta có :

5³⁶ = 5^{3 . 12} = ( 5³ )¹² = 125¹²

11²⁴ = 11 ^{2 . 12} = ( 11² )¹² = 22¹²

Ta có 125¹² < 22¹² 

=> 5²⁶ < 11²⁴

Vậy 5²⁶ < 11²⁴

Ta có :  \(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}=3-\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\)

AD BĐT C-S ta được : 

\(\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  \(=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)

\(\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  

\(=2+\dfrac{2\left(ab+bc+ac\right)-6}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)   \(\ge2\) ( điều này luôn đúng với ab + bc + ac \(\ge3\) )  

Suy ra :  ​​\(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}\)  \(\le3-2=1\)

" = " <=> a = b = c = 1

Vậy ... 

Biến thể của bài toán : Cho a ; b ; c > 0 \(a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) 

Chứng minh : \(\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Giải: 

6³.9⁷.4³-16².81⁴ = (2.3)³.(3²)⁷.(2²)³

                           = 2³.3³.3¹⁴.2⁶

                           = 2⁹.3¹⁷

16².81⁴ = (2⁴)².(3⁴)⁴

             = 2⁸.3¹⁶

             = 2⁸.3^2.8 = (2.3²)⁸ = 18⁸

(24.3)³ = 24³.3³ 

Đấy là đáp án của tôi !

Chúc bạn học tốt!

Gia su rang co 5 so tu nhien ma tich cua chung la 2003 .Dieu do chung to rang ca 5 so do deu le (chi can co it nhat 1 chu do chan thi tich se chan )nhug tong cua 5 so le phai la 1 so le nen ko the tan cung bang 8 dc .Vậy ko có 5 số tự nhiên nào thỏa mãn yêu cầu đề bài 

Gọi số phải tìm là A, viết thêm chữ số 7 vào bên phải ta được số A7 (hay là A x 10 + 7). Số A7 gấp 10 lần số A và thêm 7 đơn vị

=>  9 x A + 7 = 610

     A x 9 = 610 - 7

     A x 9 = 603

     A = 603 : 9 

     A = 67

Đáp số: 67

Cách đây 7 năm thì người anh vẫn hơn em 4 tuổi.

Hiệu số phần bằng nhau là:

3 - 2 = 1 ( phần )

Tuổi của anh 7 năm trước là:

4 : 1 x 3 = 12 ( tuổi )

Tuổi anh hiện nay là:

12 + 7 = 19 ( tuổi )

Tuổi em hiện nay là:

19 - 4 = 15 ( tuổi )

cach day may nam hieu tuoi hai anh em ko thay doi

tuoi anh la:4:(3-2) x 3+7=19(tuoi)

tuoi em la :19-4=15(tuoi)