Ta chứng minh:

\(\frac{a}{1-a^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

\(\Leftrightarrow a\left(1-a^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\le\frac{8}{27}\)

Ta có: \(VT\le\frac{\left(2a^2+1-a^2+1-a^2\right)^3}{27}=\frac{8}{27}\)

\(\Rightarrow DPCM\)

Quay lại bài toán ta có:

\(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)

\(\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Vì \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

Tức cần chứng minh \(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

BĐT trên thuần nhất nên ta chuẩn hoá \(a^2+b^2+c^2=3\)

\(BDT\Leftrightarrow\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}+\frac{b}{3-b^2}-\frac{1}{2}+\frac{c}{3-c^2}-\frac{1}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{3}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(a^2-1\right)\right)+\left(\frac{b}{3-b^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(b^2-1\right)\right)+\left(\frac{c}{3-c^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(c^2-1\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{6-2a^2}+\frac{b\left(b+2\right)\left(b-1\right)^2}{6-2b^2}+\frac{c\left(c+2\right)\left(c-1\right)^2}{6-2c^2}\ge0\) *ĐÚNG*

cho online math

Tôi không biết

Theo đề: \(5^y=6^z-4^x\)

Vì \(y\inℕ\)nên vế trái chắc chắn là số lẻ do đó vế phải cũng lẻ

Mà \(6^z,4^x\)đều là lũy thừa cơ số chẵn do vậy 1 trong 2 \(x,z\)phải bằng \(0\)

Mà \(6^z-4^x=5^y>0\Rightarrow6^z>4^x\)nên \(z\)không thể bằng \(0\)

Do đó \(x=0\)

\(\Rightarrow6^z-5^y=1\)vì các lũy thừa bậc cao của 5 và 6 không thể là các số tự nhiên liên tiếp nên \(y=z=1\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=0,y=z=1\)

Đk: x \(\ge\)2013; y \(\ge\)2013

Ta có: A = \(\frac{\sqrt{x-2013}}{x}+\frac{\sqrt{y-2012}}{y+1}\ge0\forall x;y\)

(vì \(\sqrt{x-2013}\ge0\); x > 0; \(\sqrt{y-2012}\ge0\); y + 1 > 0)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 2013 = 0 và y - 2012 = 0 <=> x = 2013 và y = 2012

Vậy MinA = 0 khi x =2013 và y = 2012

Ta lại có: A = \(\frac{\sqrt{x-2013}}{x}+\frac{\sqrt{y-2012}}{y+1}\le\frac{\frac{x-2013+1}{2}}{x}+\frac{\frac{y-2012+1}{2}}{y+1}\)(bđt cosi)

<=> A \(\le\frac{x-2012}{2x}+\frac{y-2011}{2\left(y+1\right)}=\frac{1}{2}-\frac{1006}{x}+\frac{y+1-2012}{2\left(y+1\right)}\)

<= > A \(\le\frac{1}{2}-\frac{1006}{x}+\frac{1}{2}-\frac{1006}{y+1}=1-1006\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y+1}\right)\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1)

CM bđt đúng: Từ (1) => (a + b)² > = 4ab <=> (a - b)² > = 0 (luôn đúng với mọi a,b > 0)

Khi đó: A \(\le1-\frac{1006.4}{x+y+1}=1-\frac{4024}{x+y+1}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=1\\\sqrt{y-2012}=1\\x=y+1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=2014\\y=2013\end{cases}}\)

Vậy MaxA = \(1-\frac{4024}{2014+2013+1}=1-\frac{1006}{1007}=\frac{1}{1007}\) <=> x = 2014 và y = 2013

ghykujk47586

đk: \(x>0;x\ne9\)

a) \(P=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}\)

b) Với x=0,25 ta có: \(P=\frac{\left(\sqrt{0,25}-1\right)^2}{\sqrt{0,25}}=0,5\)

c) \(P=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}-2=2-2=0\)

Dấu '=' xảy ra khi x=1 (tmdk). Vậy Min p =0 khi và chỉ khi x=1

đk: \(x\ge4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{x+9}=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}\)

\(\Leftrightarrow2x+9+2\sqrt{x^2+9x}=2x-5+2\sqrt{x^2-5x+4}\)

\(\Leftrightarrow14+2\sqrt{x^2+9x}=2\sqrt{x^2-5x+4}\)

\(\Leftrightarrow7+\sqrt{x^2+9x}=\sqrt{x^2-5x+4}\)

\(\Leftrightarrow49+14\sqrt{x^2+9x}+x^2+9x=x^2-5x+4\)

\(\Leftrightarrow14\sqrt{x^2+9x}=-14x-45\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}196\left(x^2+9x\right)=196x^2+1260x+2025\\-14x-45\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}504x=2025\\x\le\frac{-45}{14}\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{225}{56}\) (loại)

=> pt vô nhiệm

ĐK: \(x\ge4\)

PT \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}+\frac{13}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x+4}}=0\)

Đến đây thấy ngay pt vô nghiệm.

True?

khó !!!

Cứ quy đồng là ra à. Làm biếng trình bày quá. Nên cho bạn đáp số thôi nhé

a/ \(\frac{\left(\sqrt{3x}-1\right)^2}{\sqrt{3x}-2}\)

b/ x = 3 và A = 4

Bài giải:

Gọi lãi suất cho vay là x (%), x > 0

Tiền lãi sau một năm là: 2 000 000 . x / 100  hay 20000x (đồng)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: 2 000 000 + 20000x (đồng)

Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:

(2 000 000 + 20000x) x/100 hay 20000x + 200x²

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

2 000 000 + 40000x + 200x² 

Theo đầu bài ra ta có phương trình:

2 000 000 + 40 000x + 200x² = 2 420 000 hay x² + 200x - 2 100 = 0

Giải phương trình:

∆' = 100² - 1 . (-2 100) = 10 000 + 2 100 = 12 100 =>  √∆' = 110

nên x₁ = -100 - 110 / 1 = -210, x₂ = - 100 + 110 / 1 = 10

  Vì x > 0 nên  x₁ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: lãi suất là 10%.

Dễ !

Gọi lãi suất cho vay là : x ( x > 0 )

Lãi suất sau năm đầu tiên là : 2 000 000 . x

Số tiền mà bác phải trả sau năm đầu tiên là :

2 000 000 + 2 000 000x = 2 000 000 ( 1 + x )

Số tiền trên được tính theo vốn của năm thứ 2

Số tiền lãi của năm thứ 2 là :

2 000 000 . ( 1 + x )x

Số tiền vốn và lãi phải trả sau năm thứ 2 là :

2 000 000 . ( 1 + x ) + 2 000 000 ( 1 + x ) x = 2 000 000 ( 1 + x )²

•  Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

 Trang trước

Trang sau  

Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Video Bài 42 trang 58 SGK Toán 9 Tập 2 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 42 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2): Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Lời giải

Gọi lãi suất cho vay là : x (x > 0).

Lãi suất sau năm đầu tiên là : 2 000 000.x

Số tiền bác phải trả sau năm đầu tiên là :

    2 000 000 + 2 000 000. x = 2 000 000.(1 + x)

Số tiền trên được tính là vốn của năm thứ hai.

Số tiền lãi của năm thứ hai là : 2 000 000.(1 + x).x

Số tiền vốn và lãi phải trả sau năm thứ hai là:

    2 000 000.(1 + x) + 2 000 000.(1 + x). x = 2 000 000.(1 + x)2

Theo đề bài ta có phương trình :

        2 000 000 . ( 1 + x )² = 2 420 000

    <=> ( 1 + x )² = 1,21

    <=> 1 + x = 1,1 ( Vì 1 + x > 0 )

    <=> x = 0,1 = 10%

Vậy lãi suất ngân hàng là 10% / năm