Từ giả thiết ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow x^2\le3x-2\). Tương tự \(y^2\le3y-2\)

Từ đây ta có: \(A\ge\frac{x+2y}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{y+2x}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\). Đặt \(t=x+y\Rightarrow2\le t\le4\)

Ta sẽ tìm min của \(A=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}\) với \(2\le t\le4\). Đến đây vẫn chưa mừng được vì ko thể dùng miền giá trị!Ta sẽ chứng minh A \(\le\frac{7}{8}\). Thật vậy: \(A-\frac{7}{8}=\frac{t}{t+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}-\frac{1}{8}\)

\(=\frac{t-3}{4\left(t+1\right)}-\frac{t-3}{8\left(t-1\right)}=\frac{4\left(t-3\right)^2}{32\left(t+1\right)\left(t-1\right)}\ge0\). Do đó...

Đẳng thức xảy ra khi (x;y) = (2;1) và các hoán vị của nó!

P/s: Nhớ check xem em có quy đồng sai chỗ nào không:v

Ấy nhầm:v "Ta sẽ chứng minh \(A\ge\frac{7}{8}\)" Thế này mới đúng nha, đánh lanh tay quá nên nhầm:)))

Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)

1) Đặt n+1 = k^2

2n + 1 = m^2

Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ 

Đặt m = 2t+1

=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2

=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1

=> n = 2t(t+1)

=> n là số chẵn

=> n+1 là số lẻ

=> k lẻ 

+) Vì k^2 = n+1

=> n = (k-1)(k+1)

Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=> (k+1)(k-1) chia hết cho * 

=> n chia hết cho 8

+) k^2 + m^2 = 3a + 2

=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1

=> m^2 - k^2 chia hết cho 3

m^2 - k^2 = a

=> a chia hết cho 3

Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> a chia hết cho 24

Ta có : \(\left(x^2-y^2\right)^2+4x^2y^2+x^2-2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-2.\left(x^2+y^2\right)+1=1-3x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2=1-3x^2\le1\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-1\right)\le1\)

\(\Rightarrow-1\le x^2+y^2-1\le1\)

\(\Rightarrow0\le x^2+y^2\le2\)

\(C=x^2+y^2\) min tại \(x=y=0\)

\(C=x^2+y^2\)max tại \(x=0,y=\sqrt{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Ta có : \(x+y\le1\)

=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)

=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )

=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

- Tham khảo bài làm sau :

Đọc đoạn văn sau và thực hiện các yêu cầu bên dưới: "Dưới gốc tre tua tủa những mầm măng. Măng trồi lên nhọn hoắt như những mũi gai khổng lồ xuyên qua đất lũy mà trỗi dậy, bẹ măng mọc kín thân cây non, ủ kĩ như áo mẹ trùm lần trong lần ngoài cho đứa con non nớt. Ai dám bảo thảo mộc tự nhiên không có tình mẫu tử ?"

a, Tìm các trường tự vựng có trong đoạn văn trên

b, Xác định và phân tích tác dụng của các biện pháp nghệ thuật đc sử dụng trong đoạn văn:

Trong đoạn văn trên tác giả đã sử dụng biện pháp nghệ thuật:

+So sánh: - Măng trồi lên nhọn hoắt như những mũi gai khổng lồ

- Bẹ măng mọc kín thân cây non, ủ kĩ như áo mẹ trùm lần trong lần ngoài cho đứa con non nớt

+Nhân hóa: - Ai dám bảo thảo mộc tự nhiên không có tình mẫu tử ?

TD :  - Biện pháp so sánh làm cho hình ảnh trong văn bản giàu giá trị tạo hình, gợi nên nhiều cảm xúc để cho thấy hình ảnh những mầm măng, bẹ măng bao bọc lẫn nhau thiêng liêng như tình mẫu tử.

- Biện pháp nhân hóa làm cho hình ảnh thảo mộc tự nhiên trở nên sinh động, có hơi thở, có tình nghĩa giống như tình mẫu tử thiêng liêng của loài người.

Xét tam giác ABD và tam giác FBC có:

AB=FB ( cạnh tam giác đều FAB)

DB=BC ( cạnh tam giác đều DBC)

góc ABD = góc FBC ( cùng bằng góc ABC + 60 độ)

Suy ra tam giác ABD = tam giác FBC (C.G.C)

=> FC=AD