cho x,y,z là những số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z =3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A= x/ (1+y2) +y/ (1+z2) + z/( 1+x2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NV
0
29 tháng 2 2020
BĐT <=> \(\sqrt{\frac{x+yz}{xyz}}+\sqrt{\frac{y+xz}{xyz}}+\sqrt{\frac{z+xy}{xyz}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)
Khi đó \(a+b+c=1\)
BĐT <=>\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
Ta có \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Khi đó \(VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3
1 tháng 3 2020
BĐT cho tương đương với
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Với \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};a+b+c=1\)
Ta có:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}\)
\(=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự
\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
Từ đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=3
HV
0
26 tháng 10 2020
\(\left(\frac{1}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right)\div\frac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\)
ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x>0\\x\ne1\end{cases}}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right)\div\frac{1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\div\frac{1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)
\(=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\times\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{1-\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)
=> đpcm
KN
14 tháng 2 2020
Do \(a,b,c>\frac{25}{4}\)(gt) nên suy ra \(2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)
Áp dụng bđt cô - si cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\)
\(\frac{c}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{b}\right)-15\ge\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{a}\right)\)
Suy ra \(\text{}\text{}\text{Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}\ge15\)
hay \(Q\ge15\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=25\))
KN
19 tháng 10 2020
a) Để hàm xác định thì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)
b) Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
\(\Rightarrow f\left(4-2\sqrt{3}\right)=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}\)
và \(f\left(a^2\right)=\frac{\sqrt{a^2}+1}{\sqrt{a^2}-1}=\frac{\left|a\right|+1}{\left|a\right|-1}\)(với \(a\ne\pm1\))
* Nếu \(a\ge0;a\ne1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a+1}{a-1}\)
* Nếu \(a< 0;a\ne-1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a-1}{a+1}\)
c) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)
Để f(x) nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)nguyên hay \(2⋮\sqrt{x}-1\Rightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
Mà \(\sqrt{x}-1\ge-1\)nên ta xét ba trường hợp:
+) \(\sqrt{x}-1=-1\Rightarrow x=0\left(tmđk\right)\)
+) \(\sqrt{x}-1=1\Rightarrow x=4\left(tmđk\right)\)
+) \(\sqrt{x}-1=2\Rightarrow x=9\left(tmđk\right)\)
Vậy \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)thì f(x) có giá trị nguyên
d) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\); \(f\left(2x\right)=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\)
f(x) = f(2x) khi \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{2x}-1\right)=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{2x}+1\right)\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2}x+\sqrt{2x}-\sqrt{x}-1=\sqrt{2}x-\sqrt{2x}+\sqrt{x}-1\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2x}-\sqrt{x}=-\sqrt{2x}+\sqrt{x}\Leftrightarrow2\sqrt{2x}=2\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{2x}=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=0\)(tmđk)
Vậy x = 0 thì f(x) = f(2x)