\(a,\)Ta có: \(\hept{\begin{cases}MA=MB\\OA=OB=R\end{cases}}\)

\(\Rightarrow MO\)là đường trung trực của \(AB\)

   \(\Rightarrow MO\perp AB\)tại trung điểm \(K\)của \(AB\)        

\(b,\)Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(MAO\)có:

\(+\)\(^{^{ }OA^2+AM^2=OM^2\Leftrightarrow AM=\sqrt{OM^2-OA^2}\Leftrightarrow AM=\sqrt{\frac{8}{5}R)^2-R^2}\Leftrightarrow AM=\frac{\sqrt{39}R}{5}}\)

\(+\) \(AK.OM=OA.AM\Leftrightarrow AK.\frac{8}{5}R\)\(=R.\frac{\sqrt{39}}{5}R\Rightarrow AB=2AK=R\frac{\sqrt{39}}{4}\)

\(+\) \(OA^2=OK.ON\Leftrightarrow OK=\frac{OA^2}{ON}=\frac{R^2}{\frac{8R}{5}}\)\(=\frac{5R}{8}\)

\(c,\)Ta có: \(\widehat{ABN}=90\)(B thuộc đường tròn đường kính AN) \(\Rightarrow BN//MO\left(\perp AB\right)\)

Do đó; \(\hept{\begin{cases}\widehat{AOM=\widehat{ANB}}\\\widehat{AOM=\widehat{BOM}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{BOM=\widehat{ANB}}\)

Xét tam giác BHA  và MBO có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BHN}=\widehat{MBO}=90\\\widehat{BNH}=\widehat{BOM}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\Delta BHN\simeq\Delta MBO\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BH=BN\\MB=MO\end{cases}}\)\(\Rightarrow BH.MO=BN.MB\left(đpcm\right)\)

\(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)

\(=\frac{a\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a-b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-\left(\sqrt{b}\right)^2\right]}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)

\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(dpcm\right)\)