Ta có: \(4x^2+y^2=8+3xy\Leftrightarrow4x^2-4xy+y^2=8-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2=8-xy\ge0\forall x,y\inℝ\Rightarrow xy\le8\)

\(\Rightarrow P=xy+2020\le8+2020=2028\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x=y\\xy=8\end{cases}}\Rightarrow\left(x,y\right)\in\left\{\left(2;4\right);\left(-2;-4\right)\right\}\)

Ta có: \(\tan\alpha.\cot\alpha=1\Rightarrow\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}\)

Đặt \(\cot\alpha=t\)thì \(\tan\alpha=\frac{1}{t}\)

Khi đó \(B=\frac{1}{1+\frac{1}{t}}+\frac{1}{1+t}=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{1+t}=1\)

1+tan a=1+sina/cosa = sina+cosa/cosa

1+cota=sina+cosa/sina

=>B=1.

1) \(\left|x+y-\frac{1}{4}\right|^2+\left|x-y+\frac{1}{5}\right|=0\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left|x+y-\frac{1}{4}\right|^2\ge0\\\left|x-y+\frac{1}{5}\right|\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\left|x+y-\frac{1}{4}\right|^2+\left|x-y+\frac{1}{5}\right|\ge0\)

Mà \(\left|x+y-\frac{1}{4}\right|^2+\left|x-y+\frac{1}{5}\right|=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|x+y-\frac{1}{4}\right|^2=0\\\left|x-y+\frac{1}{5}\right|=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=\frac{1}{4}\\x-y=-\frac{1}{5}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}-y\\\frac{1}{4}-y-y=\frac{-1}{5}\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}-y\\-2y=-\frac{9}{20}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}-\frac{9}{40}=\frac{1}{40}\\y=\frac{9}{40}\end{cases}}}\)

Vậy .........

2) \(\left|3x+8\right|-2x=5\)

\(\Leftrightarrow\left|3x+8\right|=2x+5\)( 1 )

Ta có : \(\left|3x+8\right|=\orbr{\begin{cases}3x+8\forall x\ge-\frac{8}{3}\\-3x-8\forall x< \frac{-8}{3}\end{cases}}\)

Để giải phương trình ( 1 ) ta quy về giải 2 phương trình sau :

+) \(3x+8=2x+5\) với \(x\ge\frac{-8}{3}\)

\(\Leftrightarrow3x-2x=5-8\)

\(\Leftrightarrow x=-3\left(KTM\right)\)

+) \(-3x-8=2x+5\)với \(x< \frac{-8}{3}\)

\(\Leftrightarrow-5x=13\Leftrightarrow x=\frac{-13}{5}\left(KTM\right)\)

Vậy phương trình vô nghiệm 

c) \(\left|x-2\right|+\left|x+3\right|=6\)

+) với \(x\ge2\)

\(x-2+x+3=6\)

\(\Leftrightarrow2x+1=6\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\left(tm\right)\)

+) Với x< -3 

\(2-x-x-3=6\)

\(\Leftrightarrow-2x-1=6\)

\(\Leftrightarrow-2x=7\Leftrightarrow x=\frac{-7}{2}\left(tm\right)\)

Vậy .........

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Ta có : \(x+y\le1\)

=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)

=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )

=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)

\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

\(\hept{\begin{cases}\frac{x-5}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-2}{3}\\3x+5y-7z=100\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3\left(x-5\right)}{3\cdot3}=\frac{5\left(y-1\right)}{5\cdot5}=\frac{7\left(z-2\right)}{7\cdot3}\\3x+5y-7z=100\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3x-15}{9}=\frac{5y-5}{25}=\frac{7z-14}{21}\\3x+5y-7z=100\end{cases}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{3x-15}{9}=\frac{5y-5}{25}=\frac{7z-14}{21}=\frac{3x-15+5y-5-\left(7z-14\right)}{9+25-21}\)

\(=\frac{3x+5y-20-7z+14}{13}=\frac{94}{13}\)

\(\Rightarrow\frac{x-5}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-2}{3}=\frac{94}{13}\)

\(\frac{x-5}{3}=\frac{94}{13}\Rightarrow x-5=\frac{282}{13}\Rightarrow x=\frac{347}{13}\)

\(\frac{y-1}{5}=\frac{94}{13}\Rightarrow y-1=\frac{470}{13}\Rightarrow y=\frac{483}{13}\)

\(\frac{z-2}{3}=\frac{94}{13}\Rightarrow z-2=\frac{282}{13}\Rightarrow z=\frac{308}{13}\)

Vậy ...