1./ Với mọi y nguyên thì: 4y - 1 nguyên và không phải số chính phương.

(vì ngược lại nếu 4y - 1 = m² => m lẻ => 4y - 1 = (2k + 1)² => 4y = 4k² + 4k + 2. VT chia hết cho 4, VP không chia hết cho 4).

=> \(\sqrt{4y-1}\)là 1 số vô tỷ.

2./ Viết PT trở thành: \(\frac{11x}{5}-3y-2=\sqrt{2x+1}-\sqrt{4y-1}\)(2)

Đặt \(A=\frac{11x}{5}-3y-2\)(2) trở thành: \(A+\sqrt{4y-1}=\sqrt{2x+1}\). Bình phương 2 vế:

\(A^2+4y-1+2A\sqrt{4y-1}=2x+1\)

\(\Rightarrow2A\sqrt{4y-1}=2x+2-A^2-4y\)(3)

VT(3) là số vô tỷ để "=" VP(3) là 1 số hữu tỷ thì A = 0.

3./ Do đó: \(\sqrt{4y-1}=\sqrt{2x+1}\Rightarrow2x+1=4y-1\Rightarrow x=2y-1\)

Và: \(0=\frac{11x}{5}-3y-2\Rightarrow11\left(2y-1\right)-15y-10=0\Rightarrow y=3\Rightarrow x=5\).

4./ Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = 5; y = 3.

a. Ta có : \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{AF}{AB};\frac{S_{AEB}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\)

Như vậy \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}.\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}=cosA.cosA=cos^2A.\)

Từ đó ta có : \(S_{AEF}=S_{ABC}.cos^2A\)

b. Tương tự phần a ta có : \(S_{BEF}=S_{ABC}.cos^2B\); \(S_{CEF}=S_{ABC}.cos^2C\)

Như vậy \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BEF}-S_{CEF}\)

Từ đó ta có: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C\right)\)

Chúc em học tốt :)))

minh k bit

Áp Dụng Cosi 3 số Ta phân tích B thành :

\(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}+\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}-\frac{1+x}{4}-1\)

\(=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\)

Ta có

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}.\frac{1+y}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)

\(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+x}.\frac{1+x}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\)

\(\Rightarrow B=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\ge\)

\(\frac{3y}{2}+\frac{3x}{2}-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1=\frac{3y+3x}{2}-\frac{1+y+1+x}{4}-1=\frac{6x+6y-1-y-1-x}{4}\)

\(=\frac{5y+5x-2}{4}-1\)

Ta có 

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

mà xy=1

\(\Rightarrow x+y\ge2\)

\(\Rightarrow5\left(x+y\right)\ge10\)

\(\Rightarrow5x+5y-2\ge8\)

\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\)

Mà \(B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\Rightarrow B\ge1\left(dpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt nha 

T I C K nha

(x^3)/(1+y)=(x^3)/(1+y)+(1+y)/4+1/2-(1+y)/4-1/2

Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 3 số:(x^3)/(1+y)  (1+y)/4 và 1/2 ta có

(x^3)/(1+y) +(1+y)/4 +1/2 \(\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x^3}{4\cdot2}\right)}=\frac{3}{2}\cdot x\)

CMTT ta có B>=3/2*(x+y)-(1+y+1+x)/4-1=3/2*(x+y)-(2+x+y)/4-1

ta có x+y>=\(2\sqrt{xy}\)=2

~>B>=3/2*2-1-1=1~> ĐPCM

với \(a>0,b>0\)ta có \(\sqrt{a}.\sqrt{b}\le\frac{a+b}{2}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\ge\frac{2}{a+b}\)
từ đó ta có : \(\frac{1}{\sqrt{k\left(2016-k\right)}}\ge\frac{2}{k+2016-k}\ge\frac{2}{2016}=\frac{1}{1008},\)với mọi \(k\in N^{\cdot}\)
Suy ra \(S_k\)\(\ge k.\frac{1}{1008}>k.\frac{1}{1018}\)(đpcm).

ho qua

\(\sqrt{1+\frac{1}{\left(n-1\right)^2}+\frac{1}{n^2}}=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\) dựa vào mà làm

\(\sqrt{1+\frac{1}{\left(n-1\right)^2}+\frac{1}{n^2}}=\sqrt{\left(1-\frac{1}{n}\right)^2+\frac{2}{n}+\frac{1}{\left(n-1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(n-1\right)^2}{n^2}+\frac{2}{n}+\frac{1}{\left(n-1\right)^2}}\)

\(\sqrt{\left(\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n-1}^2\right)}=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\)

Áp dụng đẳng thức vừa chứng minh vào phương trình trên ta được:

\(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+...+1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}=2001\frac{2001}{4006}\)

<=>(1+1+1+...+1(n-2 số 1))\(+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}=2001\frac{2001}{4006}\)

<=>\(n-2+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}=2001\frac{2001}{4006}\)

=>4006n.(n-2)+2003n-4006=8018007

=>4006n²-8012n+2003n-4006=8018007

=>4006n²-6009n-8022013=0

@@số to thế

\(A=\sqrt{x^2-6x+9+2\left(y^2+2y+1\right)}+\sqrt{x^2+2x+1+3\left(y^2+2y+1\right)}.\)

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)

Với mọi giá trị được xác định của x; giá trị của biến y không phụ thuộc vào x, ta luôn có:

\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\le\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2}\)(1)

Dấu "=" khi y = -1.

(1) \(\Rightarrow A\le\left|x-3\right|+\left|x+1\right|\)(2)

• \(x< -1\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)-\left(x+1\right)=-2x+2>4\forall x< -1\)
• \(-1\le x\le3\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=4\forall-1\le x\le3\)
• \(x>3\)(2) \(\Rightarrow A\le\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=2x-2>4\forall x>3\)

Vậy GTNN của A = 4 khi -1<= x <= 3 và y = -1.

Đặt M; N; P như sau:

\(M=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge N=\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge P=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}.\)

1./ Xét hiệu: M - P

\(M-P=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}=a-b+b-c+c-a=0\)

=> M = P

2./ Bất đẳng thức \(M\ge N\ge P\)có \(M=P\)=> \(M=N=P\)

3./ Khi M = N, ta có hiệu: M - N = 0 nên:

\(\frac{a^2-c^2}{a+b}+\frac{b^2-a^2}{b+c}+\frac{c^2-b^2}{c+a}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-c^2\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(b^2-a^2\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(c^2-b^2\right)\left(a+b\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(1)

Mặt khác ta luon có bất đẳng thức: \(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)dấu "=" khi a² = b² = c²

Do đó để xảy ra đẳng thức (1) thì a² = b² = c² hay |a| = |b| = |c|. ĐPCM

Làm thì mình nghĩ mình làm dc nhưng có cái giờ phải đi học rồi . Nếu tối nay chưa ai trả lời mình sẽ trả lời 

Đề Sai sửa lại nha \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+10}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{10.\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+10\sqrt{x}+10}\)

\(B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+10}\)

\(C=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}\)

\(D=\frac{10.\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+10\sqrt{x}+10}\)

\(\Rightarrow C=\frac{\sqrt{x}.\sqrt{y}}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1\right)}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{yzx}+\sqrt{yx}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{xy}}{10+\sqrt{yx}+\sqrt{x}}\)

(do xyz=100 nên căn xyz=10) 

\(\Rightarrow D=\frac{\left(\frac{10.\sqrt{z}}{\sqrt{z}}\right)}{\left(\frac{\sqrt{xz}+10\sqrt{x}+10}{\sqrt{z}}\right)}=\frac{10}{\sqrt{x}+10+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{z}}}=\frac{10}{\sqrt{x}+10+\sqrt{xy}}\)(10= căn xyz do xyz=100)

\(\Leftrightarrow A=B+C+D=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+10}+\frac{\sqrt{xy}}{10+\sqrt{yx}+\sqrt{x}}+\frac{10}{\sqrt{x}+10+\sqrt{xy}}\)

\(=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+10}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+10}=1\)

T i c k cho mình nha cảm ơn 

Ta có x.y.z=100 

Suy ra \(\sqrt{xyz}=10\)

Thay \(10=\sqrt{xyz}\) vào A ta được

\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{xyz}\sqrt{z}+\sqrt{xyz}}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}\right)}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{zx}\left(1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}\right)}\)

\(A=\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{yz}}{10\left(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1\right)}\)

Mình giải tới đây bí mất rồi ai biết thì làm tiếp rồi chỉ bạn đó nhé

Ta tìm \(n\) thỏa mãn: \(\hept{\begin{cases}n\in N^{sao}\\n^4+n^3+1=m^2\left(m\in N^{sao}\right)\end{cases}}\)

Ta có \(m^2=n^4+n^3+1>n^4\)

\(\Rightarrow m>n^2\Rightarrow m=n^2+k\left(k\in N^{sao}\right)\)

\(\Rightarrow n^4+n^3+1=\left(n^2+k\right)^2\Rightarrow n^2\left(n-2k\right)=k^2-1\ge0\)

Nếu \(k^2-1>0\) thì \(n-2k\in N^{sao}\Rightarrow k^2-1>n^2\Rightarrow k^2>n^2\Rightarrow n< k\) mâu thuẫn với \(n-2k\in N^{sao}\)

Vậy phải có \(\hept{\begin{cases}k^2-1=0\Rightarrow k=1\\n^2\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=2\left(m=5\right)\end{cases}}\)

Vậy có duy nhất một số nguyên dương \(n\) thỏa \(n^4+n^3+1\) là số chính phương, đó là \(n=2\).

n= 2 đáy