gọi số học sinh khối 6 là a     [a là số tự nhiên ,a bằng hoặc lớn hơn 200 và 400]

Biết a:12 dư 5,a:15 dư 5,a:18 dư5

suy ra [a-5]chia hết 12,15,18

a thuộc BC[12,15,18]

12=2^2x3                 15=5x3                        18=3^2x2

BCNN[12,15,18]=5x3^2x2^2=180

BC[12,15,18]=B[180]={0,180,360,540,...}

suy ra a-5=360 vì a-5 lớn hơn hoặc bằng 200,400

a=360+5=365[học sinh]

\(a,\)Ta có: \(\hept{\begin{cases}MA=MB\\OA=OB=R\end{cases}}\)

\(\Rightarrow MO\)là đường trung trực của \(AB\)

   \(\Rightarrow MO\perp AB\)tại trung điểm \(K\)của \(AB\)        

\(b,\)Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(MAO\)có:

\(+\)\(^{^{ }OA^2+AM^2=OM^2\Leftrightarrow AM=\sqrt{OM^2-OA^2}\Leftrightarrow AM=\sqrt{\frac{8}{5}R)^2-R^2}\Leftrightarrow AM=\frac{\sqrt{39}R}{5}}\)

\(+\) \(AK.OM=OA.AM\Leftrightarrow AK.\frac{8}{5}R\)\(=R.\frac{\sqrt{39}}{5}R\Rightarrow AB=2AK=R\frac{\sqrt{39}}{4}\)

\(+\) \(OA^2=OK.ON\Leftrightarrow OK=\frac{OA^2}{ON}=\frac{R^2}{\frac{8R}{5}}\)\(=\frac{5R}{8}\)

\(c,\)Ta có: \(\widehat{ABN}=90\)(B thuộc đường tròn đường kính AN) \(\Rightarrow BN//MO\left(\perp AB\right)\)

Do đó; \(\hept{\begin{cases}\widehat{AOM=\widehat{ANB}}\\\widehat{AOM=\widehat{BOM}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{BOM=\widehat{ANB}}\)

Xét tam giác BHA  và MBO có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BHN}=\widehat{MBO}=90\\\widehat{BNH}=\widehat{BOM}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\Delta BHN\simeq\Delta MBO\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BH=BN\\MB=MO\end{cases}}\)\(\Rightarrow BH.MO=BN.MB\left(đpcm\right)\)