a/ Tọa độ A là nghiệm của hệ

\(\hept{\begin{cases}y=-2x+3\\y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1,5\\y=0\end{cases}}\)

=> A(1,5; 0)

Tọa độ B là nghiệm của hệ

\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=-2x+3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}}\)

=> B(0; 3)

Khoản cách từ O(0; 0) đến d

\(=\frac{\left|0-2×0-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\)

b/ Khoản cách từ C(0; - 2) đến d là

\(d\left(C,d\right)=\frac{\left|-2+2×0-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)

A/ TỌA ĐỘ A THỎA \(\hept{\begin{cases}Y=0\\Y=-2X+3\end{cases}}\)\(\Rightarrow\Rightarrow A\left(\frac{3}{2},O\right)\)

TỌA ĐỘ B THỎA,\(\hept{\begin{cases}Y=-2X+3\\X=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow B\left(0,3\right)\)

GOI H LA HINH CHIEU CUA O LEN (d) ap dung he thuc luong trong tam giac vuongOAB cho

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\Leftrightarrow\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}+\frac{1}{3^2}\Rightarrow AH=\frac{3}{\sqrt{5}}\)

B/GỌI K LÀ HÌNH CHIẾU CỦA C LÊN (d) ta co\(\frac{OH}{CK}=\frac{OB}{OC}=\frac{3}{5}\Rightarrow CK=\frac{5}{3}OH=\sqrt{5}\)

(....20 NHA)

Phút thứ 1 : Bóng đèn số \(x_1=0\) sáng

Phút thứ 2 : Bóng đèn số \(x_2=\left(216x_1+19\right)mod56=19\)sáng.

Phút thứ 3 : Bóng đèn số \(x_3=\left(216x_2+19\right)mod56=35\) sáng.

Phút thứ 4 : Bóng đèn số \(x_4=\left(216x_3+19\right)mod56=19\) sáng.

.............................................................................................................

Tới đây ta nhận thấy rằng từ phút thứ hai trở đi, chỉ có bóng đèn số 35 và 19 sáng. 

Hay nói cách khác, số chu kì lặp là 2. Các phút chẵn thì bóng đèn 19 sáng, còn các phút

lẻ thì bóng đèn số 35 sáng.

Như vậy ở phút thứ 2018 thì bóng đèn số 19 đang sáng.

thứ 19

mẫu:\(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2016}\)

=\(1+\frac{1}{\frac{\left(2+1\right).2}{2}}+\frac{1}{\frac{\left(3+1\right).3}{2}}+...+\frac{1}{\frac{\left(2016+1\right).2016}{2}}\)

=\(1+\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+...+\frac{2}{2016.2017}\)

=\(1+2\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{2016.2017}\right)\)

=\(1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\)

=\(1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2017}\right)\)

=\(1+1-\frac{2}{2017}\)

=\(\frac{4032}{2017}\)

=>Biểu thức:\(\frac{4032}{\frac{4032}{2017}}\)

=\(2017\)

Ta có công thức tổng quát với n tự nhiên là

\(1+2+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+2+...+n}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)

Áp dụng công thức vào bài toán ta được

\(\frac{2.2016}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+..+\frac{1}{1+2+...+2016}}=\frac{2.2016}{\frac{2}{1.2}+\frac{2}{2.3}+...+\frac{2}{2016.2017}}\)

\(=\frac{2.2016}{2\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2016.2017}\right)}=\frac{2.2016}{2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)}\)

\(=\frac{2.2016}{2\left(1-\frac{1}{2017}\right)}=\frac{2.2016}{\frac{2.2016}{2017}}=2017\)

?o?n th?ng j_1: ?o?n th?ng [A, B] ?o?n th?ng k_1: ?o?n th?ng [B, C] ?o?n th?ng l_1: ?o?n th?ng [A, C] ?o?n th?ng r_1: ?o?n th?ng [A, M] ?o?n th?ng s_1: ?o?n th?ng [A, D] ?o?n th?ng t_1: ?o?n th?ng [A, N] ?o?n th?ng e_1: ?o?n th?ng [E, M] ?o?n th?ng f_2: ?o?n th?ng [P, N] ?o?n th?ng g_2: ?o?n th?ng [F, M] ?o?n th?ng h_2: ?o?n th?ng [Q, N] ?o?n th?ng i_2: ?o?n th?ng [P, Q] ?o?n th?ng j_2: ?o?n th?ng [F, E] ?o?n th?ng k_2: ?o?n th?ng [P, F] A = (-13.33, -6.93) A = (-13.33, -6.93) A = (-13.33, -6.93) B = (-16.03, -13.14) B = (-16.03, -13.14) B = (-16.03, -13.14) C = (-5.8, -13.23) C = (-5.8, -13.23) C = (-5.8, -13.23) ?i?m D: Giao ?i?m c?a m_1, k_1 ?i?m D: Giao ?i?m c?a m_1, k_1 ?i?m D: Giao ?i?m c?a m_1, k_1 ?i?m M: ?i?m tr�n k_1 ?i?m M: ?i?m tr�n k_1 ?i?m M: ?i?m tr�n k_1 ?i?m N: Giao ?i?m c?a k_1, q_1 ?i?m N: Giao ?i?m c?a k_1, q_1 ?i?m N: Giao ?i?m c?a k_1, q_1 ?i?m E: Giao ?i?m c?a a_1, j_1 ?i?m E: Giao ?i?m c?a a_1, j_1 ?i?m E: Giao ?i?m c?a a_1, j_1 ?i?m P: Giao ?i?m c?a c_1, j_1 ?i?m P: Giao ?i?m c?a c_1, j_1 ?i?m P: Giao ?i?m c?a c_1, j_1 ?i?m F: Giao ?i?m c?a b_1, l_1 ?i?m F: Giao ?i?m c?a b_1, l_1 ?i?m F: Giao ?i?m c?a b_1, l_1 ?i?m Q: Giao ?i?m c?a d_1, l_1 ?i?m Q: Giao ?i?m c?a d_1, l_1 ?i?m Q: Giao ?i?m c?a d_1, l_1 TenVanBan1 = "S_1" TenVanBan1 = "S_1" TenVanBan2 = "S_2" TenVanBan2 = "S_2" I J

a. Ta có AD là phân giác góc BAC; AD cũng là phân giác góc MAN nên \(\widehat{BAM}=\widehat{CAN.}\)

Vậy thì \(\widehat{PAN}=\widehat{FAM}\) (Vì cùng bằng \(\widehat{BAC}-\widehat{NAC}=\widehat{BAC}-\widehat{MAB}\) )

Từ đó suy ra \(\Delta PAN\sim\Delta FAM\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{PNA}=\widehat{FMA}\left(1\right)\)

Ta thấy \(\widehat{APN}=\widehat{AQN}=90^o\Rightarrow\)P, A,Q, N cùng thuộc một đường tròn. Vậy \(\widehat{PNA}=\widehat{PQA}\left(2\right)\)

Tương tự \(\widehat{FMA}=\widehat{FEA}\left(3\right)\)

Từ (1); (2); (3) suy ra \(\widehat{PQF}=\widehat{PEF}\) hay tứ giác PEQF là tứ giác nội tiếp. Vậy P, E, Q, F cùng thuộc một đường tròn.

b. Gọi I, J là hình chiếu của D trên AB và AC. Khi đó ta thấy ngay DI = DJ.

Ta có: \(\frac{NC}{DC}=\frac{NQ}{DJ};\frac{BM}{BD}=\frac{EM}{DI}\Rightarrow\frac{NC}{CD}.\frac{BD}{BM}=\frac{NQ}{EM}\Rightarrow\frac{CN}{BM}.\frac{BD}{CD}=\frac{NQ}{EM}\) 

\(\Rightarrow\frac{CN}{BM}.\frac{AB}{AC}=\frac{NQ}{EM}\)

\(\frac{BD}{BN}=\frac{DI}{NP};\frac{CD}{CM}=\frac{DJ}{MF}\Rightarrow\frac{CM}{BN}.\frac{AB}{AC}=\frac{MF}{NP}\)

\(\Rightarrow\frac{AB^2.CM.CN}{AC^2.BM.BN}=\frac{NQ}{EM}.\frac{MF}{NP}\)

Lại có \(\Delta PNQ\sim\Delta FME\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{NQ}{ME}=\frac{PN}{MF}\Rightarrow\frac{NQ}{ME}.\frac{MF}{PN}=1\)

\(\Rightarrow\frac{AB^2.CM.CN}{AC^2.BM.BN}=1\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BM.BN}{CM.CN}.\)

su dung dinh li o-le

???ng tr�n c: ???ng tr�n qua B_1 v?i t�m O ?o?n th?ng g: ?o?n th?ng [A_1, B_1] ?o?n th?ng k: ?o?n th?ng [C_1, O] ?o?n th?ng l: ?o?n th?ng [D_1, O] ?o?n th?ng m: ?o?n th?ng [A_1, M_1] ?o?n th?ng n: ?o?n th?ng [B_1, M_1] ?o?n th?ng p: ?o?n th?ng [C_1, A_1] ?o?n th?ng r: ?o?n th?ng [D_1, B_1] ?o?n th?ng a: ?o?n th?ng [A, B] ?o?n th?ng b: ?o?n th?ng [B, C] ?o?n th?ng e: ?o?n th?ng [C, A] ?o?n th?ng h_1: ?o?n th?ng [M, D] ?o?n th?ng i_1: ?o?n th?ng [E, M] O = (0.44, 3.36) O = (0.44, 3.36) O = (0.44, 3.36) B_1 = (2.94, 3.36) B_1 = (2.94, 3.36) B_1 = (2.94, 3.36) B_1 = (2.94, 3.36) ?i?m A_1: Giao ?i?m c?a c, f ?i?m A_1: Giao ?i?m c?a c, f ?i?m A_1: Giao ?i?m c?a c, f ?i?m A_1: Giao ?i?m c?a c, f A = (-14.74, 1.5) A = (-14.74, 1.5) A = (-14.74, 1.5) B = (-16.02, -2.1) B = (-16.02, -2.1) B = (-16.02, -2.1) C = (-9.7, -2.18) C = (-9.7, -2.18) C = (-9.7, -2.18) ?i?m M: ?i?m tr�n b ?i?m M: ?i?m tr�n b ?i?m M: ?i?m tr�n b ?i?m E: Giao ?i?m c?a g_1, a ?i?m E: Giao ?i?m c?a g_1, a ?i?m E: Giao ?i?m c?a g_1, a ?i?m D: Giao ?i?m c?a f_1, e ?i?m D: Giao ?i?m c?a f_1, e ?i?m D: Giao ?i?m c?a f_1, e TenVanBan1 = "S_1" TenVanBan1 = "S_1" TenVanBan2 = "S_2" TenVanBan2 = "S_2"

Giả sử BM = x; MC = 1. Khi đó ta có \(\Delta BEM\sim\Delta MDC\) theo tỉ lệ x. Vậy \(x^2=\frac{S_1}{S_2}=\frac{103}{145}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{103}{145}}\)

Lại có \(\Delta BEM\sim\Delta BAC\) theo tỉ lệ \(\frac{x}{x+1}\) nên \(\frac{S_1}{S_{ABC}}=\left(\frac{x}{x+1}\right)^2\Rightarrow S_{ABC}=\frac{103}{\left(\frac{x}{x+1}\right)^2}\approx492,42\left(cm^2\right).\)

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{4c+a}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4abc}{ac+2bc}+\frac{9abc}{4bc+ab}+\frac{4abc}{ab+ac}\)

\(\ge\frac{\left(2\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+2\sqrt{abc}\right)^2}{ac+2bc+4bc+ab+ab+ac}=\frac{49abc}{2ac+6bc+2ab}=7\)

Xin bổ sung cách sau, bn có thể tham khảo thêm

:\(GT\Leftrightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{c}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{3}{a}=z\end{cases}}\) Ta có: \(2\left(x+y+z\right)=7\)

Suy ra \(C=\frac{4}{4y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=7\) (Bdt Cauchy-Schwarz)

Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=1\end{cases}}\)

Biến đổi tương đương, dễ dàng chứng minh Bđt:

\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+z\right)^2}\ge\frac{4}{x^2+yz}\)\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^2}{yz}+\frac{4}{x^2+yz}\)

Từ \(3y^2z^2+x^2=2\left(x+yz\right)\) ta có:

\(3y^2z^2+x^2\le x^2+1+2yz\)

\(\Rightarrow3y^2z^2-2yz-1\le0\Rightarrow yz\le1\)

Khi đó:

\(VT\ge x^2+\frac{4}{x^2+1}=\left(x^2+1\right)+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)

Dấu = khi x=y=z=1

Bài này cô cũng nghĩ là dùng phương pháp toa độ, chuyển qua hình học giải tích Oxy để giải.

Cô làm như sau:

Từ biểu thức P ta nghĩ đến công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Từ đó ta đặt \(A\left(-1;1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-2;-2\right)\) và \(D\left(x;y\right)\). Khi đó ta thấy ngay \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC\)

Ta vẽ các điểm trên trục tọa độ:

?o?n th?ng f: ?o?n th?ng [A, C] ?o?n th?ng g: ?o?n th?ng [A, B] ?o?n th?ng h: ?o?n th?ng [C, B] ?o?n th?ng i: ?o?n th?ng [C, O] ?o?n th?ng j: ?o?n th?ng [A, D] ?o?n th?ng k: ?o?n th?ng [D, B] A = (-1, 1) A = (-1, 1) A = (-1, 1) B = (1.06, -1.14) B = (1.06, -1.14) B = (1.06, -1.14) C = (-2, -2) C = (-2, -2) C = (-2, -2) ?i?m O: Giao ?i?m c?a g, TrucHoanh ?i?m O: Giao ?i?m c?a g, TrucHoanh ?i?m O: Giao ?i?m c?a g, TrucHoanh ?i?m D: ?i?m tr�n i ?i?m D: ?i?m tr�n i ?i?m D: ?i?m tr�n i

Vậy điểm D cần tìm là điểm tạo với các cạnh tam giác góc 120^o. (Để hiểu rõ thêm e có thể đọc về điểm Toricenli của tam giác ABC). Do tam giác ABC cân tại C nên D thuộc CO, nói cách khác x_D = y_D.

Do \(\widehat{ADB}=120^o\Rightarrow\widehat{ADO}=60^o.\) Vậy thì \(tan60^o=\sqrt{3}=\frac{OA}{DO}\)

Do \(OA=\sqrt{2}\Rightarrow DO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Vậy \(\sqrt{x_D^2+y_D^2}=\sqrt{2y_D^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow\left|x_D\right|=\left|y_D\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Từ hình vẽ ta có:  \(x_D=y_D=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Vậy \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2}\)

\(+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2}\)

\(=\sqrt{6}+2\sqrt{2}.\)

Vậy min P(x;y) = \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}\) khi \(x=y=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Sử dụng HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXY 

Dùng hình của cô Vân nhé

Gọi I là trung điểm của BC, kẽ AM, BN, IK, CL vuông góc với PQ và cắt PQ lần lược tại M,N,K,L

Ta có AM // CL

\(\Rightarrow\frac{QC}{QA}=\frac{CL}{AM}\left(1\right)\)

Ta có BN // AM

\(\Rightarrow\frac{PB}{PA}=\frac{BN}{AM}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{PB}{PA}.\frac{QC}{QA}=\frac{BN}{AM}.\frac{CL}{AM}=\frac{BN.CL}{AM^2}\left(3\right)\)

Ta có AM // IK

\(\Rightarrow\frac{GI}{GA}=\frac{IK}{AM}=\frac{1}{2}\left(4\right)\)

Ta có IG // BN // CL và BI = CI \(\Rightarrow IK\)là đường trung bình của hình thang BNLC

\(\Rightarrow IK=\frac{BN+CL}{2}\left(5\right)\)

Ta lại có \(BN.CL\le\frac{\left(BN+CL\right)^2}{4}=IK^2\left(6\right)\)

Từ (3), (4),(6) ta có

\(\Rightarrow\frac{PB}{PA}.\frac{QC}{QA}=\frac{BN.CL}{AM^2}\le\frac{IK^2}{AM^2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

Dấu = xảy ra khi BN = CL hay PQ // BC

Khó thế! Nhìn hoa cả mắt