A B C D E F I M N

Do AE = CF nên AEFD và CFEB là hai hình thang vuông bằng nhau. Vậy thì \(S_{CFAB}=\frac{S_{ABCD}}{2}\Rightarrow S_{EMB}+S_{MNCB}+S_{NFC}=\frac{S_{ABCD}}{2}\)

Lại có \(S_{IBC}=\frac{S_{ABCD}}{2}\Rightarrow S_{IMN}+S_{NMCB}=\frac{S_{ABCD}}{2}\)

Vậy thì \(S_{IMN}=S_{MEB}+S_{NFC}\)

em cảm ơn ạ 

A B E C D F F'

a/ Vì E là giao điểm của 2 tiếp tuyến của đường tròn (O;r) nên EF = EF' (1)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OAF=\Delta OF'C\left(\text{2 cạnh góc vuông}\right)\) 

=> AF = CF' (2)

Cộng (1) và (2) theo vế được ĐPCM

b/ Từ AF = 2CF' suy ra được AB = CD 

ta chứng minh được AE = EC 

kết hợp hai điều trên suy ra được tam giác ABD là tam giác cân có 

OE là tia phân giác (E là giao điểm hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra đpcm

c/ Ta có AB = BE , AF = FB

=> \(OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{r^2+\left(3AF\right)^2}=\sqrt{r^2+9.\left(R^2-r^2\right)}\)

\(\sqrt{9R^2-8r^2}\) không đổi. Mà O cố định nên E thuộc \(\left(O;\sqrt{9R^2-8r^2}\right)\)

d/ \(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{x^2-1}=1\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{x+1}=a\\\sqrt[3]{x-1}=b\end{cases}\Rightarrow a^3-b^3=2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^3-b^3=2\\a^2+b^2+ab=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)=2\\a^2+b^2+ab=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=2\\a^2+b^2+ab=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=2\\b^2+2b+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{x+1}=1\\\sqrt[3]{x-1}=-1\end{cases}\Leftrightarrow}x=0}\)

bài b , lập phương lên 

bài c , đặt cái căn đưa về hệ 

mới nhìn dc làm dc liền thế thui

Đường tròn c: Đường tròn qua A với tâm O Đường tròn d: Đường tròn qua A với tâm E_1 Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h_1: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [C, K] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [H, B] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [A, E] Đoạn thẳng O_1: Đoạn thẳng [A, D] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [D, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [K, H] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [A, J] A = (-1.14, 6.9) A = (-1.14, 6.9) A = (-1.14, 6.9) B = (-2.7, 1.44) B = (-2.7, 1.44) B = (-2.7, 1.44) C = (5.44, 1.46) C = (5.44, 1.46) C = (5.44, 1.46) Điểm H: Giao điểm của i, h_1 Điểm H: Giao điểm của i, h_1 Điểm H: Giao điểm của i, h_1 Điểm K: Giao điểm của j, f Điểm K: Giao điểm của j, f Điểm K: Giao điểm của j, f Điểm D: Giao điểm của c, k Điểm D: Giao điểm của c, k Điểm D: Giao điểm của c, k Điểm E: Giao điểm của d, h Điểm E: Giao điểm của d, h Điểm E: Giao điểm của d, h Điểm J: Giao điểm của c, d Điểm J: Giao điểm của c, d Điểm J: Giao điểm của c, d I

Kẻ đường cao AJ, trực tâm của tam giác là I. Khi đó AKIH là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AKH}=\widehat{AIH}\) (Cùng chắn cung AH)

Lại có \(\widehat{AIH}=\widehat{ACB}\) (Cùng phụ với \(\widehat{HAI}\) ). Vậy thì \(\widehat{AKH}=\widehat{ACB}\)

Vậy thì \(\Delta AKH\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AK}{AC}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AK.AB=AH.AC\left(1\right)\)

Xét tam giác vuông ABE, áp dụng hệ thức lượng ta có AE² = AK.AB. Tương tự AD² = AH.AC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = AD (đpcm)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\1-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\le1\end{cases}\Rightarrow0\le x\le1.}\)

\(pt\Leftrightarrow2x\sqrt{x}+\sqrt{x\left(1-x\right)}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{x}+x\sqrt{1-x}+\left(1-x\right)\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{x}+x\sqrt{1-x}+\sqrt{x}-x\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}+x\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}=0\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}+\left(x-1\right)\sqrt{1-x}=0\)

Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{1-x}=b\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2=1\\a^3-b^3=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)=0\Rightarrow\left(a-b\right)\left(1+ab\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=0\\ab=-1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{1-x}\\\sqrt{x\left(1-x\right)}=-1\end{cases}\Rightarrow}}\) \(x=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)

Vậy \(x=\frac{1}{2}.\)

x=1/2 do nha

Vuông ở đâu

Vuông ở đầu hem 

- Nếu có 2 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13}}\approx2,9335\)                có 1 chữ số 9 đầu tiên ở phần thập phân (1)

- Nếu có 3 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5}}}\approx2,9838\)(1)

- Nếu có 4 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13}}}}\approx2,9986\) (2)

- Nếu có 5 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5}}}}}\approx2,99966\)(3)

- Nếu có 6 dấu căn: \(K=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13}}}}}}\approx2,999971\)(4)

...

Vậy nếu có n (n là số tự nhiên lớn hơn 2) dấu căn thì \(K\approx2,99...9\)(n - 2 chữ số 9).

ĐK x> \(\sqrt{5+\sqrt{13}}\)

bình phương 2 vế ta được \(x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+....}}}\)

bình phương 2 vế ta được \(x^4=25+13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}+10\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13...}}}\)

đặt x=\(\sqrt{5+\sqrt{13+...}}\)

=> \(x^4=25+13+x+10\sqrt{13+x}\)

=> \(x^4=38+x+10\sqrt{13+x}\)

giai pt => x=3 (nhận) 

vậy K=3

Ta có

\(\frac{1+m^2}{1+n^2}=1+m^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)}{1+n^2}\le1+m^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)}{2}\)

Tương tự ta có 

\(\frac{1+n^2}{1+p^2}\le1+n^2-\frac{p^2\left(1+n^2\right)}{2}\)

\(\frac{1+p^2}{1+m^2}\le1+p^2-\frac{m^2\left(1+p^2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow A\le3+m^2+n^2+p^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)+p^2\left(1+n^2\right)+m^2\left(1+p^2\right)}{2}\)

\(=\frac{m^2+n^2+p^2-\left(m^2N^2+n^2p^2+p^2m^2\right)}{2}+3\)

\(\le\frac{m^2+n^2+p^2+2\left(mn+np+pm\right)}{2}+3\)

\(=\frac{\left(m+n+p\right)^2}{2}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}\)

\(a,b,c\in\left[0,1\right]\) do đó \(a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)

Ta có: \(T=\text{∑}\left(a^2+1-\frac{b^2a^2+b^2}{1+b^2}\right)\)\(\le\text{∑}a^2+3-\text{∑}\frac{b^2a^2+b^2}{2}\)

\(=3+\frac{\text{∑}a^2-\text{∑}a^2b^2}{2}\le3+\frac{1}{2}\le\frac{7}{2}\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}2+x\ge0\\2-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2+x}=a\left(a\ge0\right)\\\sqrt{2-x}=b\left(b\ge0\right)\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2=4}\)thì

\(1PT\Leftrightarrow\frac{a^2}{\sqrt{2}+a}+\frac{b^2}{\sqrt{2}-b}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}a^2+\sqrt{2}b^2-a^2b+ab^2=2\sqrt{2}-2b+2a-\sqrt{2}ab\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-a^2b+ab^2+2b-2a+\sqrt{2}ab=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(2+ab\right)+ab\left(b-a\right)+2\left(b-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(2+ab\right)+\left(b-a\right)\left(2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2+ab\right)\left(\sqrt{2}+b-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=\sqrt{2}\)(vì 2 + ab > 0)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow4-2\sqrt{4-x^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x^2}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2=3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3}\left(l\right)\end{cases}}\)

kết quả đúng 

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b\le a+c\end{cases}}\)

\(\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\Leftrightarrow a-b+c=a+b+c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)

\(\Leftrightarrow b-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-\sqrt{ab}\right)+\left(-\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1\orbr{\begin{cases}a=b\:va\:c\ge0\\c=b\:va\:a\ge0\end{cases}}\)