Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a\ge b\)

Nếu \(a\ge b>\frac{1}{2}\Rightarrow a^2\ge b^2>\frac{1}{4}\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)(loại)

Nếu \(\frac{1}{2}>a\ge b\Rightarrow\frac{1}{4}>a^2\ge b^2\Rightarrow a^2+b^2< \frac{1}{2}\)(loại)

Vậy chỉ còn trường hợp: \(a\ge\frac{1}{2}\ge b\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{1}{2}\ge0\\b-\frac{1}{2}\le0\end{cases}}\)

Nhân vế theo vế ta được

\(\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(b-\frac{1}{2}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow ab-\frac{a+b}{2}+\frac{1}{4}\le0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2ab+\frac{1}{2}\)

Từ bài toán ta có

\(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{a+b}{ab}\)

\(\ge\frac{1}{1-2ab}+\frac{2ab+\frac{1}{2}}{ab}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{2ab}+2\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{1-2ab+2ab}+2=4+2=6\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

ket qua la 213/4

20abc < 30(ab + bc + ac) < 21abc <=> 2/3 < (ab + bc + ac) / abc < 7/10 
<=> 2/3 < 1/a + 1/b + 1/c < 7/10 
Gọi A là số nhỏ nhất, C là số lớn nhất trong 3 số nguyên tố a,b,c và B là số còn lại.Ta có 
2/3 < 1/A + 1/B + 1/C < 7/10.Có các TH sau : 
a) A = 2 
..+B = 3 hoặc 5.Khi đó 1/A + 1/B +1/C > 7/10 (loại) 
..+B = 7.Khi đó 1/A + 1/B = 1/2 + 1/7 = 9/14.Do đó 2/3 - 9/14 < 1/C < 7/10 - 9/14 hay 1/42 < 1/C < 2/35 => 17,5 < C < 42.Vì C là số nguyên tố nên C thuộc {19; 23; 29; 31; 37; 41} 
..+B = 11.Khi đó 1/A + 1/B = 13/22.Do đó 2/3 - 13/22 < 1/C < 7/10 - 13/22 hay 5/66 < 1/C < 6/55 => 55/6 < C < 66/5.Vì C là số nguyên tố và A,B,C phân biệt nên C = 13 
..+B >= 13.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/2 + 1/13 + 1/17 < 2/3 (loại) 
b) A = 3 
..+B = 5.Khi đó 1/A + 1/B = 8/15.Do đó 2/3 - 8/15 < 1/C < 7/10 - 8/15 hay 2/15 < 1/C < 1/6 => 6 < C < 15/2 => C =7 
..+B >= 7.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/3 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại) 
c) A >= 5 
...Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/5 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại) 
Tóm lại có các TH sau 
 A = 2, B = 7, C = 19 
 A = 2, B = 7, C = 23 
 A = 2, B = 7, C = 29 
 A = 2, B = 7, C = 31 
 A = 2, B = 7, C = 37 
 A = 2, B = 7, C = 41 
 A = 2, B = 11, C = 13 

 A = 3, B = 5, C = 7 
Ứng với mỗi TH lại có thể tìm được 6 bộ 3 số nguyên tố a,b,c khác nhau.Vd ứng với TH đầu tiên ta có 
(a,b,c) = (2,7,19); (2,19,7); (7,2,19); (7,19,2); (19,2,7); (19,7,2) 
Vậy có tất cả 48 bộ 3 số nguyên tố a,b,c thỏa mãn điều kiện đầu bài . 

Ta có

\(20abc< 30\left(ab+bc+ca\right)< 21abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{7}{10}\)

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a< b< c\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}< \frac{3}{a}\Rightarrow a=\left(2,3\right)\)(vì a nguyên tố)

Thế lần lược các giá trị a vào rồi làm tương tự như bước trên sẽ tìm được b, c (nhớ loại giá trị không đúng nhé)

Vai trò a, b, c là như nhau nên các giá trị a, b, c có thể đổi vị trí cho nhau nên chú ý để không bỏ xót nghiệm nhé

\(\hept{\begin{cases}x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0\left(1\right)\\\sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^3-4x^2y\right)+\left(-2x^2y+8xy^2\right)+\left(xy^2-4y^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4y\right)\left(x-y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=4y\end{cases}}\)

Thế x = y vào (2) ta được

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{y-y}+\sqrt{y+y}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2y}=2\)

\(\Leftrightarrow y=2\)

Bạn làm tiếp nhé. Mấy cái như ĐKXĐ thì bạn tự làm nhé

\(\hept{\begin{cases}x^3-6x^2y+9xy^2-4y^3=0\left(1\right)\\\sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2\left(2\right)\end{cases}}\)\(dk:\hept{\begin{cases}x-y\ge0\\x+y\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge y\\x\ge0\end{cases}}}\)đặt x=ty

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^3y^3-6t^2y^3+9ty^3-4y^3=0\Leftrightarrow\left(t^3-6t^2+9t-4\right).y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y^3=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0\left(3\right)\\t^3-6t^2+9t-4=0\left(4\right)\end{cases}}\)  (3)x=y=0 không phải nghiệm của (2)=> loại

\(\left(4\right)\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0\)\(\orbr{\begin{cases}t=1\\t=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1y\left(5\right)\\x=4y\left(6\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)BP\Rightarrow\sqrt{x^2-y^2}=\left(2-x\right)\left(7\right)\) \(DK.x\ge0\Rightarrow x\le2\)

\(\left(7\right)BP\Rightarrow x^2-y^2=4-4x+x^2\Leftrightarrow y^2-4x+4=0\left(8\right)\)

\(\left(5\right)\&\left(8\right)\Rightarrow x^2-4x+4=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x_1=y_1=2\)

\(\left(6\right)\&\left(8\right)\Rightarrow y^2-16y+4=0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y_2=8-\sqrt{60}\\y_3=8+\sqrt{60}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y_2=8-2\sqrt{15}\\y_3=8+2\sqrt{15}\end{cases}}\)\(\orbr{\begin{cases}x_2=32-8\sqrt{15}< 2\left(nhan\right)\\x_3=32+8\sqrt{15}>2\left(loai\right)\end{cases}}\)

KL phương trình có nghiệm

\(\orbr{\begin{cases}x=y=2\\\left(x,y\right)=\left(32-8\sqrt{15};8-2\sqrt{15}\right)\end{cases}}\)

các bạn xem kiểm tra số liệu tính toán (+;-,*,/) có thể sai 

mình giải khác @Aliba -@Aliba phân tích thành nhân tử. Mình làm bình thường nhân phân phối

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-\left(3y+2\right)x+2y^2+4y=0\)coi như hàm bậc 2 với x giải bình thường

\(\Delta\left(x\right)=\left(3y+2\right)^2-4\left(2y^2+4y\right)=\left(y-2\right)^2\) nhận phân phối ra giản ước là xong

\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{3y+2-\left(y-2\right)}{2}=y+2\\x=\frac{3y+2+\left(y-2\right)}{2}=2y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=x-2\\y=\frac{x}{2}\end{cases}}\) thấy y theo x không dúng x thấy y vào (2)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x^2-5\right)^2=2x-2\left(x-2\right)+5\\\left(x^2-5\right)=2x-2.\frac{x}{2}+5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x^2-5\right)^2=9\left(3\right)\\\left(x^2-5\right)^2=\left(x+5\right)\left(4\right)\end{cases}}\)

\(\left(3\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_{1,2}=+-\sqrt{2}\\x_{3,4}=+-2\sqrt{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y_{1,2}=+-\sqrt{2}-2\\y_{3,4}=+-2\sqrt{2}-2\end{cases}}\)

\(\left(4\right)\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+20=0\)\(\Leftrightarrow\left(x^2-ax+b\right)\left(x^2+ax+c\right)\)đồng nhất hệ số \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=-5\\c=-4\end{cases}}\)

\(\left(4\right)\Leftrightarrow\left(x^2-x-5\right)\left(x^2+x-4\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}x^2-x-5=0\\x^2+x-4=0\end{cases}}\)\(\orbr{\begin{cases}\Delta=21\\\Delta=17\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}x_{5,6}=\frac{1+-\sqrt{21}}{2}\\x_{7,8}=\frac{-1+-\sqrt{17}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y_{5,6}=\frac{1+-\sqrt{21}}{4}\\y_{7,8}=\frac{-1+-\sqrt{17}}{4}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2-3xy-2x+4y=0\left(1\right)\\\left(x^2-5\right)^2=2x-2y+5\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^2-2xy\right)+\left(2y^2-xy\right)+\left(-2x+4y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(x-y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2y\\x=2+y\end{cases}}\)

Thế x = 2y vào (2) ta được

\(\left(4y^2-5\right)^2=4y-2y+5\)

\(\Leftrightarrow16y^4-40y^2-2y+20=0\)

\(\Leftrightarrow8y^4-20y^2-y+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(8y^4+4y^3-8y^2\right)+\left(-4y^3-2y^2+4y\right)+\left(-10y^2-5y+10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2+y-2\right)\left(4y^2-2y-5\right)=0\)

Tới đây thì đơn giản rồi. Cái còn lại làm tương tự

Đề đúng : tìm  tất cả các số nguyên dương \(a,b\) sao cho \(a+b^2\) chia hết cho \(a^2b-1\)

Có thể vào đây tham khảo\(\rightarrow\) Các bài toán và vấn đề về Số học 

de the nao lam nhu vay

Tra loi: tat ca cac so nguyen duong a,b deu thoa man

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)

Từ \(x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), dấu "=" khi a=b=c ta có:

\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\)\(\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

\(\ge xy\cdot yz+xy\cdot xz+yz\cdot xz=xyz\left(x+y+z\right)\)

Suy ra \(\left(1\right)\Leftrightarrow x=y=z\)

Mà x+y+z=1 \(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=\(\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)

Ta đặt \(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}\Rightarrow ab=1}\)

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge4\)

Ta có

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)

\(=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+2\)

\(\ge2+2=4\)

bạn chưa chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào

Đặt cái ban đầu là A

Dầu tiên ta có

\(\text{(3a+c)(a+2b+c)+(3b+d)(b+2c+d)+(3c+a)(c+2d+a)+(3d+b)(d+2a+b)}\)

\(=4\left(a+b+c+d\right)^2\)

Ta có: \(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{3a+c}{a+2b+c}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)}\)

Tương tự ta có

\(\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3b+d\right)^2}{\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)}\)

\(\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3c+a\right)^2}{\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)}\)

\(\frac{d-a}{d+2a+b}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3d+b\right)^2}{\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{1}{2}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{1}{2}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{1}{2}+\frac{d-a}{d+2a+b}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\left(3d+b\right)^2}{\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3c+a\right)^2}{\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3b+d\right)^2}{\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)}\)

\(\ge\frac{1}{2}.\frac{\left(3a+c+3b+d+3c+a+3d+b\right)^2}{\left(3a+c\right)\left(a+2b+c\right)+\left(3b+d\right)\left(b+2c+d\right)+\left(3c+a\right)\left(c+2d+a\right)+\left(3d+b\right)\left(d+2a+b\right)}\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{16\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(a+b+c+d\right)^2}=2\)

\(\Rightarrow A+2\ge2\)

\(\Leftrightarrow A\ge0\)

=4(a+b+c+d)2

Ta có: a−ba+2b+c +12 =12 .3a+ca+2b+c =12 .(3a+c)2(3a+c)(a+2b+c) 

Tương tự ta có

b−cb+2c+d +12 =12 .(3b+d)2(3b+d)(b+2c+d) 

c−dc+2d+a +12 =12 .(3c+a)2(3c+a)(c+2d+a) 

d−ad+2a+b +12 =12 .(3d+b)2(3d+b)(d+2a+b) 

Cộng vế theo vế ta được

a−ba+2b+c +12 +b−cb+2c+d +12 +c−dc+2d+a +12 +d−ad+2a+b +12 =12 .(3d+b)2(3d+b)(d+2a+b) +12 .(3c+a)2(3c+a)(c+2d+a) +12 .(3b+d)2(3b+d)(b+2c+d) +12 .(3a+c)2(3a+c)(a+2b+c) 

≥12 .(3a+c+3b+d+3c+a+3d+b)2(3a+c)(a+2b+c)+(3b+d)(b+2c+d)+(3c+a)(c+2d+a)+(3d+b)(d+2a+b) 

=12 .16(a+b+c+d)24(a+b+c+d)2 =2

⇒A+2≥2

Tử là mũ 2 thật hả bạn. Mũ 3 thì giải được còn mũ 2 thì vẫn chưa nghĩ ra

1 phải  ko bn

-0.5851

ko bít!