Từ \(a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\ge\left(a+b\right)^2a^2b^2\)\(\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5+ab\ge ab\left[ab\left(a+b\right)+1\right]\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{c}{a+b+c}\left(abc=1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\le\frac{a}{a+b+c};\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\frac{b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế ta có: \(VT\le\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

mk có cách giải khác Lyzimi, Thắng Nguyễn và Minh Triều xem thử nha :)

\(\forall x;y>0\) ta dễ dàng chứng minh được \(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\) và \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

(cái này để chứng minh bn thử biến đổi tương đương xem sao :)

Do đó \(a^5+b^5+ab\ge ab\left(a^3+b^3+1\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{ab}{ab\left(a^3+b^3+1\right)}=\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)(1)

Chứng minh tương tự \(\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\) (2) và \(\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\) (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta có \(VT\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a+b+c}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{abc}=1\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

Tạm cho k=3

tớ thì nghĩ k=6

A B E F x y M K O

a)\(\hept{\begin{cases}Ax⊥AB\\By⊥AB\end{cases}}\)=> Ax // By.\(\Delta KFB\)có EA // FB nên\(\frac{KF}{KA}=\frac{BF}{AE}\)(hệ quả định lí Ta-lét) mà EA = EM ; FM = FB (tính chất của 2 tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\Delta AEF\)có\(\frac{KF}{KA}=\frac{MF}{ME}\)nên MK // AE (định lí Ta-lét đảo) mà\(AE⊥AB\Rightarrow MK⊥AB\)

b)\(\widehat{EOM}=\frac{\widehat{AOM}}{2};\widehat{FOM}=\frac{\widehat{MOB}}{2}\)(tính chất 2 tiếp tuyến) mà\(\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=180^0\)(kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta EOF\)vuông tại O có OE + OF > EF (bđt tam giác) ; OE + OF < 2EF (vì OE,OF < EF)

\(\Rightarrow1< \frac{OE+OF}{EF}< 2\Rightarrow2< \frac{P_{EOF}}{EF}< 3\Rightarrow\frac{1}{3}< \frac{EF}{P_{EOF}}< \frac{1}{2}\)(1)

Hình thang AEFB (AE // FB) có diện tích là :\(\frac{\left(AE+FB\right).AB}{2}=\frac{\left(EM+FM\right).2R}{2}=EF.R\)

S_AEO = S_MEO vì có đáy OA = OM ; đường cao AE = ME\(\Rightarrow S_{MEO}=\frac{1}{2}S_{AEMO}\) 

S_FOM = S_FOB  vì có đáy FM = FB ; đường cao OM = OB\(\Rightarrow S_{FOM}=\frac{1}{2}S_{MFBO}\)

\(\Rightarrow S_{EOF}=\frac{1}{2}\left(S_{AEMO}+S_{MFBO}\right)=\frac{EF.R}{2}\).Từ tâm đường tròn nội tiếp I của\(\Delta EOF\)kẻ các đường vuông góc với OE,OF,EF thì\(S_{EOF}=S_{EIF}+S_{EIO}+S_{OIF}\)\(\Leftrightarrow\frac{EF.R}{2}=\frac{EF.r+EO.r+OF.r}{2}\)

\(\Rightarrow EF.R=P_{EOF}.r\Rightarrow\frac{r}{R}=\frac{EF}{P_{EOF}}\)(2).Thay (2) vào (1) ta có đpcm.

sao nguyên bài khó thế

Đề có thể bị sai. Đề đúng có thể là

\(B=\frac{1}{1+y+yz}+\frac{2}{2+2y+xy}+\frac{2}{x+2+xz}\)

\(=\frac{1}{1+y+yz}+\frac{xyz}{xyz+xyzy+xy}+\frac{xyz}{x+xyz+xz}\)

\(=\frac{1}{1+y+yz}+\frac{z}{z+zy+1}+\frac{yz}{1+yz+z}\)

\(=\frac{1+y+yz}{1+y+yz}=1\)

hình như bn nhầm kìa

Đặt B là mẫu thức của P thì :

B = ab(x - y)² + bc(y - z)² + ca(z - x)² = abx² - 2abxy + aby² + bcy² - 2bcyz + bcz² + caz² - 2cazx + cax²

   = ax²(b + c) + by²(a + c) + cz²(a + b) - 2(bcyz + acxz + abxy) (1)

ax + by + cz = 0 => (ax + by + cz)² = 0 <=> a²x² + b²y² + c²z² + 2(bcyz + acxz + abxy) = 0 

=> -2(bcyz + acxz + abxy) = a²x² + b²y² + c²z² (2)

Từ (1) và (2),ta có : B = ax²(b + c) + by²(a + c) + cz²(a + b) + a²x² + b²y² + c²z²

= ax²(a + b + c) + by²(a + b + c) + cz²(a + b + c) = (a + b + c)(ax² + by² + cz²)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{a+b+c}=2017\)

P=2017

1/ Tìm Max. Ta có

\(\frac{M}{2}=\frac{15x}{2}+\frac{x\sqrt{17-x^2}}{2}\)

\(=-\left(\frac{x^2}{16}-\frac{2x\sqrt{17-x^2}}{4}+17-x^2\right)-15\left(\frac{x^2}{16}-\frac{2x}{4}+1\right)+32\)

\(=-\left(\frac{x}{4}-\sqrt{17-x^2}\right)^2-15\left(\frac{x}{4}-1\right)^2+32\le32\)

\(\Rightarrow M\le64\)

\(\Rightarrow\)GTLN là M = 64 đạt được khi x = 4

Tìm Min. Ta có

\(\frac{M}{2}=\frac{15x}{2}+\frac{x\sqrt{17-x^2}}{2}\)

\(=\left(\frac{x^2}{16}+\frac{2x\sqrt{17-x^2}}{4}+17-x^2\right)+15\left(\frac{x}{16}+\frac{2x}{4}+1\right)-32\)

\(=\left(\frac{x}{4}+\sqrt{17-x^2}\right)^2+15\left(\frac{x}{4}+1\right)^2-32\ge-32\)

\(\Rightarrow M\ge-64\)

Vậy GTNN là M = - 64 đạt được khi x = - 4

x = 8 đó mình chỉ đoán thôi 

Đặt \(ax^4=by^4=cz^4=t\)\(\Rightarrow a=\frac{t}{x^4};b=\frac{t}{y^4};c=\frac{t}{z^4}\)

Ta có: \(VT=\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt{\frac{t}{x^2}+\frac{t}{y^2}+\frac{t}{z^2}}\)

\(=\sqrt{t\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}=\sqrt{t}\left(1\right)\)

\(VP=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{\frac{t}{x^4}+}\sqrt{\frac{t}{y^4}}+\sqrt{\frac{t}{z^4}}\)

\(=\frac{\sqrt{t}}{x^2}+\frac{\sqrt{t}}{y^2}+\frac{\sqrt{t}}{z^2}=\sqrt{t}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=\sqrt{t}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Đúng rồi đấy!

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+4xy=6\left(1\right)\\4x^2+16=6y+14x\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế rồi chuyển tất cả sang vế trái ta được

5x² + y² + 4xy + 10 - 6y -14x = 0

<=> (4x² + 4xy + y²) - 6(2x + y) + 9 + (x² - 2x + 1) = 0

<=> (2x + y)² - 6(2x + y) + 9 + (x - 1)² = 0

<=> ( 2x + y - 3)² + (x - 1)² = 0

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+y-3=0\\x-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Khó lắm đó bạn !!!

Gọi số lớn là x, số nhỏ là y \(\left(x,y\inℕ^∗\right);x,y>124\)

Tổng hai số bằng 1006 nên ta có: x + y = 1006

Số lớn chia số nhỏ được thương là 2, số dư là 124 nên ta có: x = 2y + 124.

Ta có hệ phương trình :

\(\hept{\begin{cases}x+y=1006\\x=2y+124\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1006\\x-2y=124\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-\left(x-2y\right)=882\\x+y=1006\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=882\\x+y=1006\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=294\\x=712\end{cases}}\)

Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294

Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng vào phương trình thứ nhất, ta được:

x⁴ - 8x³ +24x² - 32x + 16 = y⁴ - 16y³ +96y² - 256y + 256

<=> (x - 2)⁴ = (y - 2)⁴

<=>\(\orbr{\begin{cases}x-2=y-4\\x-2=4-y\end{cases}}\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}x=y-2\\x=6-y\end{cases}}\)

Với x = y - 2, thay vào phương trình 1 ta được:

-8y³ + 24y² - 32y + 16 = 240

<=> y³ - 3y² + 4y + 28 = 0

<=> (y + 2)(y² - 5y + 14 ) = 0

<=> y = -2 ; x = -4

Với x = 6 - y, thay vào phương trình 1 ta được:

-24y³ + 216y² - 864y + 1296 = 240

<=> y³ - 9y² + 36y - 44 = 0

<=> (y - 2)(y² - 7y + 22 ) = 0

<=> y = 2 ; x = 4

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm trên.

Thấy giống AILABA quá