\(VT=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{199}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(VT=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{199}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(VT=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(VT=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(VT=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}=VP\)=> ĐPCM

\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)
\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}\left(\text{đ}pcm\right)\)

Gọi d = ƯCLN(a²; a+ b)

=> a² chia hết cho d;

a+ b chia hết cho d => a.(a+b) chia hết cho d hay a² + ab chia hết cho d

=> a² + ab - a²  chia hết cho d => ab chia hết cho d mà a;b nguyên tố cùng nhau nên 

a chia hết cho d hoặc b chia hết cho d

+) Nếu a chia hết cho d: Ta có a + b chia hết cho d => b chia hết cho d

=> d \(\in\) ƯC (a;b) mà ƯCLN(a; b) = 1 => d = 1 =>  ƯCLN(a²; a+ b) = 1

+) Nếu b chia hết cho d => a chia hết cho d (do a+ b chia hết cho d)

=> d \(\in\) ƯC (a;b) mà ƯCLN(a; b) = 1 => d = 1 =>  ƯCLN(a²; a+ b) = 1

Vậy   ƯCLN(a²; a+ b) = 1

Gọi d = ƯCLN(a²; a+ b)

=> a² chia hết cho d;

a+ b chia hết cho d => a.(a+b) chia hết cho d hay a² + ab chia hết cho d

=> a² + ab - a²  chia hết cho d => ab chia hết cho d mà a;b nguyên tố cùng nhau nên 

a chia hết cho d hoặc b chia hết cho d

+) Nếu a chia hết cho d: Ta có a + b chia hết cho d => b chia hết cho d

=> d $\in$∈ ƯC (a;b) mà ƯCLN(a; b) = 1 => d = 1 =>  ƯCLN(a²; a+ b) = 1

+) Nếu b chia hết cho d => a chia hết cho d (do a+ b chia hết cho d)

=> d $\in$∈ ƯC (a;b) mà ƯCLN(a; b) = 1 => d = 1 =>  ƯCLN(a²; a+ b) = 1

Vậy   ƯCLN(a²; a+ b) = 

x=1

y=2

z=3

chắc luôn **** nhé

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. 
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 
=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

đúng mình nhé

Ta tìm số tự nhiên n để \(\frac{n+7}{n-2}\) rút gọn được

Gọi d là ước chung nguyên tố của n + 7 và n - 2

=> n+ 7 chia hết cho d

n - 2 chia hết cho d

=> (n+7) - (n- 2) chia hết cho d => 9 chia hết cho d

Mà d nguyên tố => d = 3

=> tìm n để n + 7 chia hết cho 3 và n - 2 chia hết cho 3

Do n + 7 = (n - 2) + 9 nên nếu n - 2 chia hết cho 3 thì n+ 7 sẽ chia hết cho 3

Vậy chỉ cần tìm n để n - 2 chia hết cho 3 => n - 2 = 3k (k \(\in\) N* vì n > 2) => n = 3k + 2

Với n = 3k + 2 (k \(\in\) N*) thì \(\frac{n+7}{n-2}\) rút gọn được 

=> Với n \(\ne\) 3k + 2 (k \(\in\) N*) hay n là số chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 thì \(\frac{n+7}{n-2}\) tối giản

đúng rồi

Bạn chia ra hai trường hợp : n lẻ hoặc chẵn 

Nếu n lẻ thì n + 1993 ^1994 chia hết cho 2 => tích đó chia hết cho 2

Trường hợp còn lại tương tự , mình chỉ gợi ý thôi bạn tự làm nha .

Bạn chia ra hai trường hợp : n là số lẻ hoặc chẵn 

Nếu n lẻ thì n + 1993 ^1994 chia hết cho 2 => tích đó chia hết cho 2

Trường hợp còn lại tương tự , mình ko chắc lắm nhưng chúc bn giải đc bài còn lại!!

a.

=2(4a+1)+17/4a+1

=2(4a)+1/4a+1 + 17/4a+1

=2 + 17/4a+1

=>17/4a+1=z<=>17 :(4a+1)

<=>A=0;4  vì=N=>a=0;4 thì 8a+19/4a+1

(Cách lám tương tự)

Mình không biết làm bài a chỉ biết làm bài b thôi.

b) Gọi d là ước nguyên tố của 2n+7 và 5n+2. Ta có:

                    5(2n+7)-2(5n+2) chia hết cho d 

                => 31 chia hết cho d => d=31

Ta thấy 3n+2 chia hết cho 31 khi đó 5n+2 chia hết cho 31

<=> 2n+7-31 chia hết cho 31

<=> 2(n-12) chia hết cho 31 

<=> n-12 chia hết cho 31

=> n=31K+12(K thuộc N)

Vậy với n # 31K+12 thì phân số tối giản.

Bài a chắc cũng làm theo cách này thôi bạn à chỉ tội tôi chưa nghĩ ra. Bạn cố gắng suy nghĩ nhé

N = (n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) /2n

    = (n+1)(n+2)(n+3)...  2n /2n

    = (n+1)(n+2)(n+3) ... (n+n-1)     {Rút gọn}

Vậy N là số tự nhiên.

N = (n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) /2n

    = (n+1)(n+2)(n+3)...  2n /2n

    = (n+1)(n+2)(n+3) ... (n+n-1)     {Rút gọn}

Vậy N là số tự nhiên.

Ta có: abc = 100.a + 10.b +c = n^2 - 1 (1)
cba = 100.c + 10.b + a = n^2- 4n + 4 (2) 
Lấy (1) trừ (2) ta được:
99.(a – c) = 4n – 5
Suy ra 4n - 5 chia hết 99 
Vì 100 ≤  abc ≤ 999 nên:
100 ≤ n^2 -1 ≤ 999 => 101 ≤ n^2 ≤ 1000 => 11 ≤ 31 => 39 ≤ 4n - 5 ≤ 119
Vì 4n - 5 chia hết 99 nên 4n - 5 = 99 =>  n = 26  =>  abc = 675
Thử lại thấy đúng. Vậy có một số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là 675 

Ta có: abc = 100.a + 10.b +c = n^2 - 1 (1)
cba = 100.c + 10.b + a = n^2- 4n + 4 (2) 
Lấy (1) trừ (2) ta được:
99.(a – c) = 4n – 5
Suy ra 4n - 5 chia hết 99 
Vì 100 $\le$≤  abc $\le$≤ 999 nên:
100 $\le$≤ n^2 -1 $\le$≤ 999 => 101 $\le$≤ n^2 $\le$≤ 1000 => 11 $\le$≤ 31 => 39 $\le$≤ 4n - 5 $\le$≤ 119
Vì 4n - 5 chia hết 99 nên 4n - 5 = 99 =>  n = 26  =>  abc = 675
Thử lại thấy đúng. Vậy có một số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là 675 

do 183 chia hết cho 3 nhưng ko chia hết cho 9,9.b chia hết cho 9

=>3^a chia hết cho 3 và ko chia hết cho 9

=>3^a=3

=>a=1

9.b=180<=>b=20

vậy a=1,b=20

do 183 chia hết cho 3 nhưng ko chia hết cho 9,9.b chia hết cho 9

=>3^a chia hết cho 3 và ko chia hết cho 9

=>3^a=3

=>a=1

9.b=180<=>b=20

vậy a=1,b=20

ta có : x^2+y^2+z^2 = 1 <=> (x+y+z)^2 = 1+2(xy+yz+xz) <=> 1 = 1 +2(xy+yz+xz) 
<=> xy+yz+xz = 0 (*) 

****) ÁP DỤNG KẾT QUẢ SAU : 

ta có :  a^3+b^3+c^3-3abc = (1/2)(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)

thật vậy : (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc 
<=> a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac) = (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ac))
<=> a^3+b^3+c^3-3abc = (1/2)(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)
<=> a^3+b^3+c^3-3abc = (1/2)(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)

****) DO ĐÓ ÁP DỤNG VÀO BÀI TA ĐƯỢC :

x^3+y^3+z^3-3xyz = (1/2)(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) 
= (1/2)(x+y+z)(2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz))

<=> 1-3xyz = (1/2).1.2 = 1 <=> xyz = 0 (**) 

+/ mà : x+y+z = 1 (***)

****) TỪ (*)(**)(***) TA SUY RA : x,y,z là 3 nghiệm của pt bậc 3 sau : U^3-U^2 = 0 
<=> U = 0 HOẶC U = 1

+/ suy ra : 1 trong 3 phần tử x,y,z bằng 1, 2 phần tử còn lại sẽ là bằng 0 

+/ DO ĐÓ : x+y^2+z^3 = 1 

+/ SUY RA : điều phải chứng minh !

ta có : x^2+y^2+z^2 = 1 <=> (x+y+z)^2 = 1+2(xy+yz+xz) <=> 1 = 1 +2(xy+yz+xz) 
<=> xy+yz+xz = 0 (*) 

****) ÁP DỤNG KẾT QUẢ SAU : 

ta có :  a^3+b^3+c^3-3abc = (1/2)(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)

thật vậy : (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc 
<=> a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac) = (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ac))
<=> a^3+b^3+c^3-3abc = (1/2)(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)
<=> a^3+b^3+c^3-3abc = (1/2)(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)

****) DO ĐÓ ÁP DỤNG VÀO BÀI TA ĐƯỢC :

x^3+y^3+z^3-3xyz = (1/2)(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) 
= (1/2)(x+y+z)(2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz))

<=> 1-3xyz = (1/2).1.2 = 1 <=> xyz = 0 (**) 

+/ mà : x+y+z = 1 (***)

****) TỪ (*)(**)(***) TA SUY RA : x,y,z là 3 nghiệm của pt bậc 3 sau : U^3-U^2 = 0 
<=> U = 0 HOẶC U = 1

+/ => : 1 trong 3 phần tử x,y,z bằng 1, 2 phần tử còn lại sẽ là bằng 0 

+/ do đó : x+y^2+z^3 = 1 

+/ =>: điều phải chứng minh !