Do ABKC là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{BAK}=\widehat{BCK}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK)

Do ICEK là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{ICK}=\widehat{IEK}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

 \(\Rightarrow\widehat{DAK}=\widehat{DEK}\)

Vậy DAEK là tứ giác nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua K.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)

\(=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

Cần chứng minh \(\frac{\left(Σ_{cyc}a^2\right)^2}{Σ_{cyc}a\left(a^2+ab+b^2\right)}\ge\frac{Σ_{cyc}a}{3}\)

Nhân ra và nó đúng theo BĐT Schur

Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a-b}\)= \(\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{a-b}\)= \(\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}\)= (a -b) + \(\frac{2ab}{a-b}\)

Vì a>b>0 nên áp dụng BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :

(a - b) +\(\frac{2ab}{a-b}\)\(\ge\)\(2\sqrt{\left(a-b\right)\cdot\frac{2ab}{a-b}}\)= 2\(\sqrt{2ab}\)= \(2\sqrt{2}\)( Vì ab = 1) ( đpcm)

Đầu tiên ta có:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{\frac{1}{a}+b+1}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}+1}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{1+ab+a}+\frac{ab}{a+1+ab}=1\)

Quay lại bài toán ta có:

\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}=\frac{1}{a^2+b^2+2a+2}\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)}\\\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\end{cases}}\)

Từ đó suy ra 

\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\)

\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)

Câu hỏi của Nguyễn Trọng Kiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Vẽ thêm đường thẳng AN vuông góc với AM và cắt CD ở N. Chứng minh được: \(\Delta AND=\Delta AMB\left(c-g-c\right)\Rightarrow AM=AN\)(cạnh tương ứng)

Tiếp tục áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ANI .......... => ĐPCM

\(Q=\sqrt[3]{\frac{b^3-3b+\left(b^2-1\right)\sqrt{b^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3-3b-\left(b^2-1\right)\sqrt{b^2-4}}{2}}\)

\(\Leftrightarrow Q^3=b^3-3b+3Q\sqrt[3]{\frac{b^3-3b+\left(b^2-1\right)\sqrt{b^2-4}}{2}}.\sqrt[3]{\frac{b^3-3b-\left(b^2-1\right)\sqrt{b^2-4}}{2}}\)

\(\Leftrightarrow Q^3=b^3-3b+3Q\)

\(\Leftrightarrow\left(Q-b\right)\left(Q^2+Qb+b^2-3\right)=0\)

Dễ thấy \(Q^2+Qb+b^2-3>0\)

\(\Rightarrow Q=b=\sqrt[3]{2020}\)

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x^4\right)^2+\left(y^4\right)^2=35\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+y^4\right)^2-2x^4y^4=35\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+y^4\right)^2-2x^4y^4=35\)

\(\Leftrightarrow\left(\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\right)^2-2x^4y^4=35\)

\(\Leftrightarrow\left(\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\right)^2-2\left(xy\right)^4=35\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(\left(x+y\right)^2-2xy\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]^2-2\left(xy\right)^4=35\)

Và \(pt\left(1\right)\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)=30\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\Rightarrow S^2\ge4P\) thì có:

\(\hept{\begin{cases}\left[\left(S^2-2P\right)^2-2P^2\right]^2-2P^4=35\\SP=30\end{cases}}\)

Thay lẫn lộn vào nhau giải ra thì có....

Thắng Nguyễn cách này không khả thi đâu. You cứ giải đến cuối sẽ thấy.

\(=a^3-3a^2+7a^2-21a-\left(8a-24\right)\)hay 

\(=a^2\left(a-3\right)+8a\left(a-3\right)-8\left(a-3\right)\)

\(=\left(a-3\right)\left(a^2+8a-8\right)\)

CHÚC BẠN HỌC TỐT...

\(a^3+4a^2-29a+24\)

\(=\left(a^3-3a^2\right)+\left(7a^2-21a\right)+\left(-8a+24\right)\)

\(=\left(a-3\right)\left(a^2+7a-8\right)\)

\(=\left(a-3\right)\left[\left(a^2-a\right)+\left(8a-8\right)\right]\)

\(=\left(a-3\right)\left(a-1\right)\left(a+8\right)\)

Ta có: 

\(\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2+\left(c-a\right)^2\left(a-b\right)^2\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2+\left(c-a\right)^2\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Vì \(a,b,c\in Q\)

\(\Rightarrow A\in Q\)

Đặt \(a-b=x,b-c=y,c-a=z\). \(\Rightarrow x+y+z=a-b+b-c+c-a=0\)

Xét \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=A\)

Khi đó A bằng giá trị tuyệt đối của \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) là số hữu tỉ

Nếu theo như biểu thức bạn cho thì 2 số hạng đầu không liên quan đến nhau, 1 bên là số lớn trong căn, 1 bên là số nhỏ trong căn, vì thế phải sửa lại

Rút gọn biểu thức

\(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}.\)

Bây giờ chúng ta chứng minh bài toán phụ sau:

Chứng minh:

\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Vậy bài toán phụ đã được chứng minh

Áp dụng bài toán phụ vào biểu thức A (mình tạm gọi là A cho tiện) ta được:

\(A=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2018}-\sqrt{2017}\)

\(=\sqrt{2018}\)

Vậy, A = căn 2018