Vẽ đường kính AD và $AH\perp BC\left(H\in BC\right)$.

Ta có \(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \backslash (\backslash widehat\{ACD\}\backslash )={90}^0$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADC$ có:

$\backslash (\backslash widehat\{AHB\}\backslash )=\backslash (\backslash widehat\{ACD\}\backslash )={90}^0$;

 \(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC);

$\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta ADC\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow \frac{5}{15}=\frac{8}{2R}\Rightarrow 2R=24\iff R=12\left(cm\right)$

ta có

\(199^{20}< 200^{20}=2^{20}.10^{40}\)

\(2003^{15}>2000^{15}=2^{15}.10^{45}=2^{15}.10^5.10^{40}>2^{20}.10^{40}>199^{20}\)

vì vậy \(2003^{15}>199^{20}\)

Mipan 

\(\frac{x}{36}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow4x=36\Leftrightarrow x=36:4\Leftrightarrow x=9\)

\(\frac{x}{36}\)= \(\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}\)= \(\frac{1.9}{4.9}\)= \(\frac{9}{36}\)

\(\Rightarrow x=9\)

Vẽ đường kính AK

+) Dễ có: ^KBC = ^KAC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

+) ^ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^ABK = 90⁰

 Có: ^KBC + ^CBA = ^ABK = 90⁰ (cmt)

       ^BAH + ^CBA = 90⁰ (∆ABH vuông tại H)

Từ đó suy ra ^KBC = ^BAH                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BAH = ^KAC hay ^BAH = ^OAC (đpcm)

Kẻ đường kính AE của đường tròn ( O) . Ta thấy \(\widehat{ACE}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{AEC}=90^o\) (1)

Theo gt, ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^O\) (2)

Lại có: \(\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\) (3)

Từ (1), (2), (3) => đpcm

Giả sử các góc AOE, EOF, FOE bằng nhau.

Xét tam giác AOF, ta thấy OE vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên OE cũng là đường cao.

Suy ra OE $\perp$ AB. (1)

Chứng minh tương tự, OF $\perp$ AB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra E $\equiv$ F (vô lý).

Vậy các góc AOE, EOF, FOE không bằng nhau.

BOC=BO’D

vì C, B cùng thuộc đường tròn (O) => OB=OC => tam giác OBC cân tại O => góc OCB= góc OBC (1)

tương tự góc O'BD= góc O'DB (2)

vì BD là tia pg của góc OBO' => góc OBC= góc DBO' (3)

từ (1) , (2) , (3)=> góc OBC=OCB=O'DB=O'BD 

=> góc BOC = góc DO'B