Dấu ở giữa là cộng chứ nhỉ??

Đặt \(y=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}};z=\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^3+z^3=2a\\yz=\sqrt[3]{a^2-\frac{\left(a+1\right)^2\left(8a-1\right)}{27}}\\y+z=x\end{cases}=\sqrt[3]{\frac{27a^2-\left(8a^3+15a^2+6a-1\right)}{27}}=\sqrt[3]{\frac{\left(1-2a\right)^3}{27}}=\frac{1-2a}{3}}\)

Thay vào ta được:

\(x^3=\left(y+z\right)^3=y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)\)\(=2a+3\frac{1-2a}{3}x=2a+\left(1-2a\right)x\)

\(\Leftrightarrow x^3-\left(1-2a\right)x-2a=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x+2ax-2a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2a+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2+2a+x=0\end{cases}}\)

Đến đây thì có lẽ là sẽ cm được \(x^2+2a+x>0\), mình chưa tìm ra cách cm.

KL : \(x=1\inℤ\)

\(\sqrt{x^2+x+3}=a\left(a\in Z\right).\)

\(\Rightarrow x^2+x+3=a^2\Leftrightarrow4x^2+4x+12=4a^2\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2a\right)^2=-11\)

\(_{\Leftrightarrow\left(2x+1-2a\right)\left(2x+1+2a\right)=-11}\)

Sau đó thì dễ rồi vì a,x nguyên tìm nghiệm của -11 là xong

√x2+x+3=a(a∈Z).

⇒x2+x+3=a2⇔4x2+4x+12=4a2⇔(2x+1)2−(2a)2=−11

⇔(2x+1−2a)(2x+1+2a)=−11

Sau đó thì dễ rồi vì a,x nguyên tìm nghiệm của -11 là xong

Ta có:

\(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}=1-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}>1-\frac{1}{n\left(n+2\right)}=1+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n}\right)\)

Thế vô bài toán ta được

\(B=\frac{2.4}{3^2}+\frac{4.6}{5^2}+...+\frac{200.202}{201^2}\)

\(>1+1+...+1+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{202}-\frac{1}{200}\right)\)

\(=100+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{202}-\frac{1}{2}\right)=\frac{10075}{101}>99,75\)

Ta có đánh giá sau:\(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}=1-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

\(>1-\frac{1}{x\left(x+2\right)}=1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\)

Suy ra \(B=\frac{2\cdot4}{3^2}+\frac{4\cdot6}{5^2}+\frac{6\cdot8}{7^2}+...+\frac{200\cdot202}{201^2}\)

\(>1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+...+1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{200}-\frac{1}{202}\right)\)

\(=100-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}-\frac{1}{202}\right)\)

\(=100-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{202}\right)\)\(=100-\frac{1}{2}\cdot\frac{50}{101}\)

\(>100-\frac{1}{2}\cdot\frac{50}{100}=100-0,25=99,75\)

Tức là \(B>99,75\) 

Ta có:

\(\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\)

\(=\frac{5bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{5ac}{\sqrt{5bc\left(3ba+2ca\right)}}+\frac{5ab}{\sqrt{5ca\left(3cb+2ab\right)}}\)

\(\ge\frac{10bc}{5ab+3ac+2bc}+\frac{10ac}{5bc+3ba+2ca}+\frac{10ab}{5ca+3cb+2ab}\)

Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)(cho dễ nhìn)

\(=\frac{10x}{2x+3y+5z}+\frac{10y}{2y+3z+5x}+\frac{10z}{2z+3x+5y}\)

\(=\frac{10x^2}{2x^2+3yx+5zx}+\frac{10y^2}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{10z^2}{2z^2+3xz+5yz}\)

\(\ge\frac{10\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\)

Giờ ta cần chứng minh

\(\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng)

Vậy ta có ĐPCM

alibaba nguyễn bạn trả lời đúng đấy! Nhưng để dễ hiểu hơn ta nên áp dụng tổ hợp BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz nhé!

\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999.2001}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1998.\frac{1999+2001}{2}}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1998.2000}}}}< ...< \sqrt{2.\frac{3+5}{2}}\)

\(=\sqrt{2.4}=\sqrt{8}< 3\)

trời bộ bài giề này ko bít làm

Xem lại đề bài nhé b

đặt \(a=5+2\sqrt{6}\).ta sẽ chứng minh với dạng tổng quát \(\left[a^n\right]\)là 1 số tự nhiên lẻ.

ta có: \(a^n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n=x+y\sqrt{6}\)(x,y là các số tự nhiên) (*)

đặt \(b=5-2\sqrt{6}\Rightarrow b^n=x-y\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow a^n+b^n=2x\)

mà \(0< b=5-2\sqrt{6}< 1\)

\(\Rightarrow0< b^n< 1\)

\(\Rightarrow2x-1< a^n=2x-b^n< 2x\)

nên \(\left[a^n\right]=2x-1\)lẻ vì x nguyên.

p/s:(*) : thử \(\left(5+2\sqrt{6}\right)^2,\left(5+2\sqrt{6}\right)^3\)đều có dạng \(A+B\sqrt{6}\)

thank nhìu nha :P

vì b,c là nghiệm của phương trình nên \(\hept{\begin{cases}b^2-ab-\frac{1}{2a^2}=0\\c^2-ab-\frac{1}{2a^2}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b^4=\left(ab+\frac{1}{2a^2}\right)^2\\c^4=\left(ac+\frac{1}{2a^2}\right)^2\end{cases}}\)

\(b^4+c^4=\left(ab+\frac{1}{2a^2}\right)^2+\left(ac+\frac{1}{2a^2}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(ab+ac+\frac{1}{a^2}\right)^2\)

\(=\frac{1}{2}\left[a\left(b+c\right)+\frac{1}{a^2}\right]^2\)

mà theo viet : (tính delta đầu tiên nhá ): b+c=a.

\(\Rightarrow b^4+c^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)^2\ge2\)(AM-GM)

Dấu = xảy ra khi a=1 hoặc a=-1

^^ Lời giải hay 

Với \(n=0\Rightarrow A=0\)

Với \(n\ne0\)

Xét \(p=2\)thì ta có:

\(A=n^4+4n^3=n^2\left(n^2+4n\right)\)

Vì A là số chính phương nên 

\(\Rightarrow n^2+4n=x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2-x^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2+x\right)\left(n+2-x\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2+x,n+2-x\right)=\left(1,4;4,1;2,2;-1,-4;-4,-1;-2-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n,x\right)=\left(-4,0\right)\)

Xét \(p\ge3\) thì ta có \(p+1=2k+4\left(k\ge0\right)\)

\(A=n^4+4n^{2k+4}=n^4\left(1+4n^{2k}\right)\)

Vì A là số chính phương nên 

\(\Rightarrow1+n^{2k}=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y-n^k\right)\left(y+n^k\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(y-n^k;y+n^k\right)=\left(1,1;-1,-1\right)\)

Không có giá trị \(n\ne0\)thỏa mãn cái trên

Vậy ......

chết lộn đề , 4n^(p-1)