Gọi a và b là hai số bất kì thuộc dãy 1, 2, 3, ..., 50. Giả sử a > b.

a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) thì a – b :  d ta  chứng minh d ≤ 25  vậy ta giả sử d > 25 thì b >25 ta có a ≤ 50 mà b > 25 nên  0 < a – b < 25 nên không thể xảy ra

a – b : d ; d = 25 xảy ra khi a = 50; b = 25

Vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 25

b)     BCNN(a,b) ≤  a.b  ≤ 50 . 49=2450. 

Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 49

Gọi a và b là hai số bất kì thuộc dãy 1, 2, 3, ..., 50. Giả sử a > b.

a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) thì a – b :  d ta  chứng minh d ≤ 25  vậy ta giả sử d > 25 thì b >25 ta có a ≤ 50 mà b > 25 nên  0 < a – b < 25 nên không thể xảy ra

a – b : d ; d = 25 xảy ra khi a = 50; b = 25

Vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 25

b)     BCNN(a,b) ≤  a.b  ≤ 50 . 49=2450. 

Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 49

Gọi số cận tìn là N = 111....1 (n chữ số 1)

Ta có:33...33 (100 chữ số 3)= 3 . 11...11 (100 chữ số 1)

Có 3 và 11...11 (100 chữ số 1) là 2 số nguyên tố cùng nhau (Vì 11...11 (100 chữ số 1) khồng chia hết cho 3)

Để N chia hết cho 33...33 (100 chữ số 3) thì N chia hết cho 3 và  11...11 (100 chữ số 1)

Tổng các chữ số của N bằng n.Để N chia hết cho 3 thì n phải chia hết cho 3

Mà  N chia hết cho 11...11 (100 chữ số 1) ;  N nhỏ nhất  và toàn các chữ số 1

=> N = 111...111...11.11...11 (300 chữ số 1)

 b x 333....333 (gồm 100 số 3) = 1111....1111  (gồm a số 1)

3b x 111...111(gồm 100 số 1) = 111...111 (gồm a số 1)

 Rõ ràng 111...111 chia hết cho 3 và chia hết cho 11

-> a chia hết cho 3 và a chẵn, a > 100, và a nhỏ nhất

-> a = 102

 Vậy số cần tìm là 111....111 (102 chữ số 1)

11 là số nguyên tố, (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11 => có ít nhất một thừa số chia hết cho 11, không giãm tính tính tổng quát, giả sử (16a+17b) chia hết cho 11
ta cm (17a+16b) cũng chia hết cho 11, thật vậy:
16a + 17b chia hết cho 11 => 2(16a + 17b) chia hết cho 11
=> 33(a+b) + b -a chia hết cho 11 => b-a chia hết cho 11
=> a-b chia hết cho 11

Ta có: 2(17a+16b) = 33(a+b) + a-b chia hết cho 11
do 2 và 11 là hai số nguyên tố => 17a+16b chia hết cho 11

Vậy (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11.11 = 121 = 11^2 là scp => đpcm

Đề cho là (16a+17b) + (16b+17a) chia hết cho 11 chứ đâu phải là (16a+17b) . (16b+17a) chia hết cho 11

Giả sử có người thứ tư đi chính giữa người thứ nhất và người thứ hai thì người thứ tư phải đi bằng vận tốc trung bình của người thứ nhất và người thứ hai và người thứ tư cũng xuất phát lúc 8 giờ từ A đi về phía B.

Do đó khi người thứ tư gặp người thứ ba cũng đúng là lúc người thứ người thứ ba có khoảng cách đến người thứ nhất và thứ hai bằng nhau.

Bài toán chuyển động cùng chiều:

Vận tốc của người thứ tư (vận tốc trung bình của người thứ nhất và người thứ hai) là:

(30 + 40) : 2 = 35 (km/giờ)

Thời gian để người thứ tư gặp người thứ ba (thời gianngười thứ ba đi chính giữa người thứ nhất và người thứ hai) là:

10 : (35 - 20) = \(\frac{2}{3}\) giờ = 40 phút

Thời điểm người thứ ba đi chính giữa người thứ nhất và người thứ hai là:

8 giờ + 40 phút = 8 giờ 40 phút

                    Đáp số: 8 giờ 40 phút 

8h40 phút đúng đó 

       (Bài toán bò ăn cỏ của Niu-tơn )

a) 70 con bò trong 24 ngày ăn hết 1 . 70 . 24 = 1680 (bó)

30 con bò trong 60 ngày ăn hết 1. 30 . 60 = 1800 (bó)

60 ngày hơn 24 ngày số ngày là 60 - 24 = 36 (ngày)

   Vậy số cỏ mọc thêm trong 36 ngày là:

                                                18000 - 1680 = 120 (bó)

b) Ta thấy 96 = 60 + 36

Do đó số cỏ trên cánh đồng trong 96 ngày bằng tổng của số cỏ trên cánh đồng trong 60 ngày và số cỏ mọc thêm trong trong 36 ngày. Vậy số cỏ đó là:

                                                1800 + 120 = 1920 (bó)

 Số con bò ăn hết số cỏ trên trong 96 ngày là:

                                               1920 : 96 = 20 (con)

                                                         Đáp số: a) 120 bó

                                                                     b) 20 con bò

gọi N là suất cỏ ( tạm tính ra kg cỏ ) bò ăn được mỗi ngày.

theo đề bài tính ra lượng cỏ đàn bò đã ăn:

  - nếu 24 ngày thì 70 con bò ăn được:

70 * 24 * N =  1680 * N  (kg cỏ)

 - nếu 60 ngày thì 30 con bò ăn được:

30 * 60 * N = 1800 * N  (kg cỏ)

biết rằng đồng cỏ có tốc độ mọc cỏ như nhau, nên số cỏ tăng thêm trong vòng 36 ngày là:

1800 * N  -   1680 * N = 120 * N  (kg)

=> lượng cỏ tăng trong 1 ngày là:

120 * N / 36 = 10 * N / 3  (kg)

=> lượng cỏ tăng trong 24 ngày là:

24 * 10 * N /3 = 80 * N (kg)

=> lượng cỏ ban đầu của đồng cỏ là:

1680 * N  -  80 * N = 1600 * N (kg)

lượng cỏ của đồng cỏ sau 96 ngày là:

1600 * N  + 96 * 10 * N /3 = 1920 * N

=> số bò là:

1920 * N  :  96 * N = 20 (con)

vậy 20 con bò sẽ ăn hết cỏ của cánh đồng trong 96  ngày

Gọi p là số nguyên tố phải tìm.

Ta có: p chia cho 60 thì số dư là hợp số \(\Rightarrow\) p = 60k + r = 2².3.5k + r  với k,r \(\in\) N ; 0 < r < 60 và r là hợp số.

Do p là số nguyên tố nên r không chia hết các thừa số nguyên tố của p là 2 ; 3 và 5.

Chọn các hợp số nhỏ hơn 60, loại đi các số chia hết cho 2 ta có tập hợp A =  {9 ; 15 ; 21 ; 25 ; 27 ; 33 ; 35 ; 39 ; 45 ; 49 ; 21 ; 55 ; 57}

Loại ở tập hợp A các số chia hết cho 3 ta có tập hợp B = {25 ; 35 ; 49 ; 55}

Loại ở tập hợp B các số chia hết cho 5 ta có tập hợp C = {49}

Do đó r = 49. Suy ra p = 60k + 49. Vì p < 200 nên k = 1, khi đó p = 60.1 + 49 = 109 hoặc k = 2, khi đó p = 60.2 + 49 = 169.

Loại p = 169 = 13² là hợp số.\(\Rightarrow\) chỉ có p = 109

                                          Vậy số nguyên tố phải tìm là 109.

Bài này mình tự làm nhá, mình xem ở trên mạng chưa có ai giải được bài này đâu, cũng không có ở trong câu hỏi tương tự nên các bạn khác đừng có bắt bẻ mình. Bài này hay và khó đấy nên bạn hỏi câu này, các bạn khác và O-L-M chọn đúng nha !

theo cách tính của mình bằng casio,  fx 570 VN PLUS thì như sau:

ta ấn:

\(\frac{30}{43}\) ALPHA CALC,  ALPHA X + 1 /.................( THAY X BẰNG a,  RỒI BẤM TƯƠNG TỰ)

TA CÓ:

\(\frac{30}{43}=X+\frac{1}{X+\frac{1}{X+\frac{1}{X+1}}}\), ẤN TIẾP SHIFT CALC    rồi ấn  1=

SẼ HIỆN RA DÒNG CHỮ:

CAN'T SOLVE

.......................

CÓ NGHĨA X KO TỒN TẠI, HAY a \(\in\)rỗng

ko chắc lắm, vì mình chỉ góp ý theo cách nghĩ của mình thôi

làm gì có b, c, d 

Gọi ước chung lớn nhất của x - z và y - z là d ( d \(\in\)\(ℕ^∗\))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right).\left(y-z\right)⋮d^2\)

\(\Rightarrow z^2⋮d^2\Rightarrow z⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x⋮d\\y⋮d\end{cases}}\)

Mà x, y nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-z,y-z\right)=1\)

Mà (x-z)(y-z)=z^2 chính phương

x,y,z thuộc N*

\(\Rightarrow x-z\)và \(y-z\)đều là số chính phương

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z=m^2\\y-z=n^2\end{cases}}\)

với m,n thuộc Z

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2=m^2n^2\)

\(\Rightarrow z=mn\)

Ta có: (x-z)+(y-z)=(x+y)-2z

\(\Rightarrow\left(x+y\right)=m^2+n^2+2mn\)

\(\Rightarrow x+y=\left(m+n\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2\)

\(\Rightarrow xy-zy-zx+z^2=z^2\Rightarrow xy-zy-zx=0\)\(\Rightarrow xy-z\left(x+y\right)=0\Rightarrow xy=z\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)=z^2\left(m+n\right)^2\)là số chính phương với z thuộc N*, m,n thuộc Z (đpcm)

Vậy xyz là số chính phương.

xyz là số chính phương

60 lần

a.60 lần

b.ko biết

Gọi số đó là abcde(ngang)

Ta có:

abcde(ngang) chia hết cho 7 \(\Leftrightarrow\) (khó viết dấu ngoặc lắm). Bạn cứ dựa vào ssau hiệu chia hết 7 mà chứng minh :

Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao nhiêu lại nhân với 3 rồi cộng thêm chữa số tiếp theo… cứ như vậy cho đến chữ số cuối cùng. Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.

Là cách hoán đổi vị trí đấy Đinh Tuấn Việt