CÓ: \(a^2+b^2=c^2.\)Nên ta có:
\(P=\frac{\left(a+b\right)\left(a+\sqrt{a^2+b^2}\right)\left(b+\sqrt{a^2+b^2}\right)}{ab\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}.\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{a}.\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{b}\)
\(=\left(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{a^2+b^2}}\right).\left(1+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}\right)\left(1+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}\right)\).
Đặt: \(x^2=\frac{a^2}{a^2+b^2};y^2=\frac{b^2}{a^2+b^2}\Rightarrow x^2+y^2=1\). Ta có:
\(P=\left(x+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)
\(=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)\(\ge4\sqrt{x.y.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}+2=6.\)

Vậy GTNN của P = 6.Dấu bằng xảy ra khi x = y =1 hay tam giác ABC vuông cân.

Min = 6

B1:Ta có ;n(n+5)- (n-3) (n+2)= n^{2 +} 5n- n²- 2n+3n+6=  6n+6= 6.(n+1)

=> 6.(n+1) chia hết cho 6 với mọi n thuộc N

Vậy;...........................

tớ ra rồi =1 hoặc 2 gì đó

Nhận xét: \(b^3c-cb^3=0;b^2c-cb^2=0.\).Nên phân thức trở thành:

\(\frac{a^3b-ab^3+c^3a-ca^3}{a^2b-ab^2+c^2a-ca^2}=\frac{a^3\left(b-c\right)-a\left(b^3-c^3\right)}{a^2\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)}\)
\(=\frac{a\left(b-c\right)\left\{a^2-\left(b^2-bc+c^2\right)\right\}}{a\left(b-c\right)\left\{a-\left(b+c\right)\right\}}\)
\(=\frac{a^2-\left(b^2-bc+c^2\right)}{a-\left(b+c\right)}=\frac{a^2-\left(b+c\right)^2+3bc}{a-\left(b+c\right)}\)
\(=a+b+c+\frac{3bc}{a-b-c}\).

+ Xét tg OMN có IM=IO và KN=KO => IK là đường trung bình của tg OMN => IK//MN

+ Xét hình thang IKNM có PI=PM và QK=QN => PQ là đường trung bình của hình thang IKNM => PQ//IK//MN

+ Xét tg IMN có PI=PM; PH//MN => PH là đường trung bình của tg IMN => PH=MN/2

+ Xét tg KMN chứng minh tương tự cũng có QJ=MN/2

=> PH+QJ=(PJ+JH)+(QH+JH)=PJ+QH+2JH=MN (*)

+ Xét tg MIK có PI=PM; PJ//IK => PJ là đường trung bình của tg MIK => PJ=IK/2

+ Xét tg NIK chững minh tương tự cũng có QH=IK/2

Thay PJ=QH=IK/2 vào (*)

=> PJ+QH+2JH=IK/2+IK/2+2JH=MN => IK+2JH=MN => JH=(MN-IK)/2

Thấy ngay BMNC là hình thang, KD là đường trung bình, vì thế nên : \(KD=\frac{BM+NC}{2}\)

Lại có: \(\Delta AIO=\Delta DKO\) (cạnh góc vuông và góc nhọn kề) nên AI = DK.

Vậy \(MB+CN=2DK=2AI.\)

bhjnynjbhnybjj

\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4b+y^4a}{ab}=\frac{\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)}{a+b}\Rightarrow x^4ab+x^4b^2+y^4ab+y^4a^2=x^4ab+y^4ab+2x^2y^2ab\)
\(\Leftrightarrow x^4b^2+y^4a^2-2x^2y^2ab=0\Leftrightarrow\left(x^2b-y^2a\right)^2=0\Leftrightarrow x^2b=y^2a\Leftrightarrow\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2010}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)^{1006}}{\left(a+b\right)^{1006}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1006}}\)
 

Nếu để ý thì bài này dùng coossi sờ vác ngay bước đầu sẽ ngắn đi rất nhiều 

Cô hướng dẫn nhé.

a. Dễ thấy MN // HP nên NMPH là hình thang.

Xét tam giác vuông AHC có HN  là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên NH = HC = HA. Vậy thì tam giác NCH cân tại N 

\(\Rightarrow\widehat{NHC}=\widehat{NCH}.\)

Do PM // AC nên \(\widehat{MPB}=\widehat{ACB}.\)

Vậy thì \(\widehat{NHC}=\widehat{MPB}\Rightarrow\widehat{NHP}=\widehat{MPH}\)

Vậy hình thang NMPH là hình thang cân.

b. Do NP // AB nên \(HM\perp AB\).

Lại có NMBP là hình bình hành nên NM = PB.

Vậy thì NM + HP = PB + PH = HB.

Xét tam giác AHB có HM là trung tuyến đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân. Vậy HA = HB hay HA = MN + HP.

Cho tg ABC vuông tại A, AM là trung tuyến.

Kẻ MN vuông góc AB thì MN // AC. Do M là truung điểm BC nên MN là đường trung bình hay N là trung điểm AB.

Xét tam giác MAB có MN là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó cân tại M hay MA = MB. Mà MA = MC nên ta có MA = MB = MC.

(Chính vì thế nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC)

Em tự vẽ hình nhé. Ý sau cô nói rõ yêu cầu hơn là chứng minh hình bình hành MNPQ có chu vi bằng tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Xét tứ giác EFMN có OF = ON; OE = OM nên nó là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy thì MN // EF // AC và MN = EF = AC / 2 (Vì EF là đường trung bình tam giác BAC).

Hoàn toàn tương tự: QP // GH // AC và QP = GH = AC/2.

Vậy MNPQ là hình bình hành (Cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Khi đó ta có:

 \(p_{MNPQ}=PQ+PN+NM+MQ=\left(PQ+MN\right)+\left(MQ+PN\right)=AC+BD.\)

Vậy ta đã chứng minh xong bài toán.

Cô ơi em ko hiểu.Theo em thì ta phải cm MN//=AC và PQ//=AC