Ta thấy: \(1-\frac{1}{1+2+3+...+n}=1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow A=\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3+4}\right)...\left(1-\frac{1}{1+2+3+...+2006}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(2-1\right)\left(2+2\right)}{2\left(2+1\right)}\right)\left(\frac{\left(3-1\right)\left(3+2\right)}{3\left(3+1\right)}\right)\left(\frac{\left(4-1\right)\left(4+2\right)}{4\left(4+1\right)}\right)...\left(\frac{\left(2006-1\right)\left(2006+2\right)}{2006\left(2006+1\right)}\right)\)

\(=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}.\frac{3.6}{4.5}...\frac{2005.2008}{2006.2007}=\frac{\left(1.2.3...2005\right)\left(4.5.6...2008\right)}{\left(2.3.4...2006\right)\left(3.4.5...2007\right)}\)

\(=\frac{1.2008}{2006.3}=\frac{1004}{1003.3}=\frac{1004}{3009}\)

Vậy \(A=\frac{1004}{3009}\)

Gọi 7 số hữu tỉ đã cho lần lượt là:  a_1;  a_2;  a_3;  a_4;  a_5;  a_6;  a₇

Theo bài ra, ta có: a₁.a₂ = a₂.a₃ = a₃.a₄ = a₄.a₅ = a₅.a₆ = a₆.a₇ = a₇.a₁

_{\(\Rightarrow\)}a₁  =  a₂  =  a₃  =  a₄  =  a₅  =  a₆  =  a₇

Nên   a₁.a₂ = a₂.a₃ = a₃.a₄ = a₄.a₅ = a₅.a₆ = a₆.a₇ = a₇.a₁ = \(\frac{9}{25}\)

mà     \(\frac{9}{25}=\left(-\frac{3}{5}\right)^2\)   hoặc     \(\frac{9}{25}=\left(\frac{3}{5}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)a₁  =  a₂  =  a₃  =  a₄  =  a₅  =  a₆  =  a₇  =  \(-\frac{3}{5}\)hoặc   a₁  =  a₂  =  a₃  =  a₄  =  a₅  =  a₆  =  a₇  =  \(\frac{3}{5}\)

Vậy 7 số hữu tỉ cần tìm bằng nhau và bằng \(\frac{3}{5}\)hoặc \(-\frac{3}{5}\)

Ta có:

1/n + 3 = 1 / 1 + (n + 2) 

2/n + 4 = 2 / 2 + (n + 2)

3/n + 5 = 3 / 3 + (n + 2)

....

2001/n + 2003 = 2001 / 2001 + (n + 2)

2002/n + 2004 = 2002 / 2002 + (n + 2)

Ta thấy các phân số trên đều có dạng a/a + (n + 2)

Để mỗi phân số đều tối giản thì a và n + 2 phải nguyên tố cùng nhau

=> n + 2 và 1; 2; 3; ...; 2001; 2002 nguyên tố cùng nhau

Mà n nhỏ nhất => n + 2 nhỏ nhất => n + 2 = 2003

=> n = 2003 - 2 = 2001

Vậy n = 2001

nhớ k nha

Ta có:

1/n + 3 = 1 / 1 + (n + 2) 

2/n + 4 = 2 / 2 + (n + 2)

3/n + 5 = 3 / 3 + (n + 2)

....

2001/n + 2003 = 2001 / 2001 + (n + 2)

2002/n + 2004 = 2002 / 2002 + (n + 2)

Ta thấy các phân số trên đều có dạng a/a + (n + 2)

Để mỗi phân số đều tối giản thì a và n + 2 phải nguyên tố cùng nhau

=> n + 2 và 1; 2; 3; ...; 2001; 2002 nguyên tố cùng nhau

Mà n nhỏ nhất => n + 2 nhỏ nhất => n + 2 = 2003

=> n = 2003 - 2 = 2001

Vậy n = 2001

a) Đề sai nhé !

b) Ta có :  \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{abz-cya}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{cay-bcx}{c^2}=\frac{abz-cya+bcx-abz+cay-bcx}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Rightarrow abz-cya=0\Leftrightarrow abz=cya\Leftrightarrow bz=cy\Leftrightarrow\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)(1)

\(\Rightarrow bcx-abz=0\Leftrightarrow bcx=abz\Leftrightarrow cx=az\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

ok. Thank you. Ổn rồi

ta có: vế trái 9x²+5 ko chia hết cho 3

=> y(y+1) không chia hết cho 3 => y và y +1 ko chia hết cho 3

Mà y, y+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên y=3k + 1, y+1 = 3k+2  (k\(\in\)N)

Phương trình trở thành: 

\(9x^2+5=\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)\Leftrightarrow9x^2+5=9k^2+9k+2\Leftrightarrow\)\(3x^2+1=3k^2+3k\) (2)

Ta có vế phải của (2) chia hết cho 3 nhưng vế trái thì ko (vô lý)

=>ko tồn tại đẳng thức

=> ko tồn tại x, y thỏa 9x^2 +5 = y(y+1)

Vậy...

dễ thế cũng hỏi tự làm đi

Ta thấy các phân số ở tổng A khi quy đồng mẫu số sẽ chứa lũy thừa của 2 với số mũ lớn nhất là 2^k (2^k < hoặc = n) như vậy khi quy đồng mẫu số thì các phân số đều có tử chẵn chỉ có phân số 1/2^k có tử lẻ

=> A có tử lẻ mẫu chẵn, không là số nguyên

=> đpcm

A không phải là số nguyên vì:

   + Số 1 là 1 số nguyên, (không được là số thập phân)

   + Số 1 được cộng vời các số còn là phân số 

Ta cũng thấy rằng bất cứ một số nguyên  nào mà cộng vời lại phân số thì kết quả chắc chắn là 1 phân số, bạn cứ thử đi sẽ thấy.

  Từ những điều trên ta => A không pải là số nguyên.

Nối A và E lại ta có tam giác BAE cân tại B (vì BE=BA). Ta có góc BAE + góc CAE = góc ABC 
=90 độ. Mặt khác góc CAE + góc AEK = góc EKA = 90 độ => góc BAE = góc AEK. Mà góc BAE = góc BEA (tam giác BAE cân tại B) => góc AEK = góc BEA. Xét tam giác vuông AHE và AKE bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông (AE chung) góc nhọn kề (góc AEK = góc BEA) => AK = AH (đpcm)

a) xét tam giác ABC và tam giác DMC có:

CA=CD

góc ACB= góc DCM ( đối đỉnh)

BC=CM

=> tam giác ABC=tam giác DMC (c.g.c)

b) theo a) tam giác ABC=tam giác DMC=> góc A= góc D

mà đây là 2 góc so le trong nên MD//AB

c) Xét tam giác ICB và tam giác NCM có:

góc B= góc M ( tam giác ABC= tam giác DMC)

BC=MC

góc ICB= góc NCM ( đối đỉnh)

=> tam giác ICB= tam giác NCM(  g.c.g)

=> IB=MN

Mà AB=MD ( tam giác ABC= tam giác DMC)

=> AB-IB= MD-MN

=> AI=ND

Cảm ơn bạn Hằng Lê Nguyệt

Xét \(M=\left(2a+1\right)^2+\left(2a+3\right)^2=4a^2+4a+1+4a^2+12a+9=8a^2+16a+10.\)

\(M=8\left(a+1\right)^2+2=2\left(4\left(a+1\right)^2+1\right)\)

4(a + 1)² + 1 là 1 số lẻ => M chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4.

Hay M khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì thừa số 2 có số mũ lẻ (=1) nên M không phải là số chính phương.

=> \(\sqrt{M}\)là số vô tỷ, hay \(\sqrt{M}\in I\)đpcm

khó thế