Trên các đỉnh và cạnh của ngũ giác, người ta sắp xếp các số từ 1 đến 10 sao cho tổng các số trên mỗi cạnh đều bằng nhau. Hình bên tay phải phia dưới là một ví dụ, trong đó tổng các số trên mỗi cạnh đều bằng 16.
a b c d e f g h i j 1 8 7 6 3 9 4 2 10 5
Bạn hãy tìm một cách sắp xếp khác các số từ 1 đến 10 vào các đỉnh và cạnh của ngũ giác sao cho tổng các số trên mỗi cạnh đều bằng nhau và tổng đó là nhỏ nhất có thể.
(Đây là bài toán trong cuộc thi tìm kiếm tài năng toán học nước Mỹ năm 2004-2005)
-------------------
Các bạn trình bày đáp án của mình vào Ô Gửi ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ được cộng bố vào Thứ Sáu ngày 18/3/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy ngày 19/3/2016.
-------------------
Tính đến thời điểm trao giải, có tất cả 6 bạn có lời giải đầy đủ và đúng (danh sách phía dưới). Chúc mừng 6 bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
3. Svip Tuan, Trường Tiểu học Nam Trung, Huyện Nam Trực - Nam Định
4. Nguyễn Lê Lâm Phúc, Trường THCS Nam Hà, Huyện Lâm Hà - Lâm Đồng
5. Phan Văn Hiếu, Trường THCS Tượng Lĩnh, Huyện Kim Bảng - Hà Nam
6. Nguyễn Minh Hoàng, Trường THCS Ngô Sĩ Liên, Thành phố Vũng Tàu - Bà Rịa - Vũng Tàu
-------------------
Xem đáp án
Đáp án
Giả sử có phương án sắp xếp các số từ 1 đến 10 vào các đỉnh và các cạnh của ngũ giác sao cho tổng các số trên mỗi cạnh đều bằng nhau và bằng S.
Khi đó, ta lấy tổng tất cả 5 cạnh bằng 5.S và trong tổng này các số trên các cạnh được tính một lần, còn các số trên các đỉnh được tính hai lần. Ta gọi tổng các số trên 5 đỉnh là T, ta có:
5.S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + T
Hay là:
S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + T)/5 = 11 + T/5
Vậy để S nhỏ nhất có thể thì T cũng phải nhỏ nhất, mà tổng T có 5 số trong các số {1,2, ..., 10} nên T nhỏ nhất khi T = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Khi đó S = 11 + T/15 = 11 + 15/5 = 14
Hay nói cách khác, tổng các số trên mỗi cạnh nhỏ nhất bằng 14 khi đặt các số 1, 2, 3, 4, 5 trên các đỉnh của ngũ giác. Dưới đây là một phương án thỏa mãn điều kiện này.
1 9 4 8 2 10 5 7 3 6
