Ước chung và ước chung lớn nhất SVIP

1. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

⚡Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

⚡Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Ta kí hiệu: ƯC$(a,\,b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$; ƯCLN$(a,\,b)$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

Chú ý: Ta chỉ xét ước chung của các số khác $0$.

Ví dụ 1. Ta có Ư$(12)=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12\}$;

Ư$(18)=\{1;\,2;\,3;\,6;\,9;\,18\}$;

Các số $1;\, 2;\,3;\,6$ đều là ước của hai số $12$ và $18$ nên ƯC$(12,\,18)=\{1;\,2;\,3;\,6\}$.

Vì $6$ là số lớn nhất trong các ước chung nên ƯCLN$(12,\,18)=6$.

Nhận xét:

⚡Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy. Nếu $a\,\vdots\,b$ thì ƯCLN$(a,\,b)=b$.

⚡Số $1$ chỉ có một ước là $1$. Do đó với mọi số tự nhiên $a$ và $b$, ta có ƯCLN$(a,\,1)=1;$ ƯCLN$(a,\,b,\,1)=1$.

2. CÁCH TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn $1$:

B1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

B2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;

B3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ 2. Tìm ƯCLN$(150,\,45)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.

Lời giải

Phân tích các số $45$ và $150$ ra thừa số nguyên tố ta được:

$45=3^2.5$; $150=2.3.5^2$.

Ta thấy $3$ và $5$ là các thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của $3$ là $1$ và số mũ nhỏ nhất của $5$ là $1$ nên

ƯCLN$(150,\,45)=3.5=15$.

Ví dụ 3. Tìm ƯCLN$(56,\,140,\,168)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.

Lời giải

Phân tích các số $56,\,140$ và $168$ ra thừa số nguyên tố ta được:

$56=2^3.7$; $140=2^2.5.7$; $168=2^3.3.7$.

Ta thấy $2$ và $7$ là các thừa số nguyên tố chung của $56$, $140$ và $168$. Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2$ và số mũ nhỏ nhất của $7$ là $1$ nên

ƯCLN$(56,\,140,\,168)=2^2.7=28$.

 Nhận xét:

Để tìm ước chung của các số, ta có thể làm như sau:

B1. Tìm ƯCLN của các số đó;

B2. Tìm các ước của ƯCLN đó.

Ví dụ 4. Tìm ƯC$(150,\,105)$

Giải

Phân tích các số $150$ và $105$ ra thừa số nguyên tố:

$150=2.3.5^2$; $105=3.5.7$.

Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là $3$ và $5$.

Số mũ nhỏ nhất của $3$ là $1$, số mũ nhỏ nhất của $5$ là $1$.

Khi đó ƯCLN$(150,\,105)=3.5=15$.

Các ước của $15$ là $1;\, 3;\, 5;\,15$.

Vậy ƯC$(150,\,105)=\{1;\,3;\,5;\,15\}$.

 3. RÚT GỌN VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN

⚡ Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác $1$ (nếu có).

⚡ $\dfrac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu $a$ và $b$ không có ước chung nào khác $1$. Nghĩa là ƯCLN$(a,\,b)=1$. 

⚡ Để đưa một phân số chưa tối giản $\dfrac{a}{b}$ về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN$(a,\,b)$.

Ví dụ 5. Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

a) $\dfrac{7}{9}$;          b) $\dfrac{18}{54}$.

Lời giải

a) Ta có ƯCLN$(7,\,9)=1$, nên $\dfrac{7}{9}$ là phân số tối giản.

b) ƯCLN$(18,\,54)=18$, nên $\dfrac{18}{54}$ không là phân số tối giản.

Ta có $\dfrac{18}{54}=\dfrac{18:18}{54:18}=\dfrac{1}{3}$.

Ta được $\dfrac{1}{3}$ là phân số tối giản.

Chú ý: Nếu ƯCLN$(a,\,b)=1$ thì $a$ và $b$ được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.