Tổng và hiệu của hai vectơ SVIP

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

⚡Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm $A$ tùy ý và vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

⚡Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

⚡Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì \(A,B,C\), ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

⚡Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là một hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

Tính chất: Với ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ tùy ý:

⚡Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

⚡Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right) + \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} + \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

⚡Tính chất của vectơ-không: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$ (Hình vẽ).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.

b) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$.

c) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}$.

d) $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$.

Lời giải

a) + b) Đúng.

Theo quy tắc ba điểm ta có

• $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.

• $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$.

c) Sai.

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$.

d) Đúng.

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$.

2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

⚡Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$.

⚡Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$.

⚡Vectơ $\overrightarrow{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Chú ý. Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

1) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C A}$.

2) $\overrightarrow{C A}=-\overrightarrow{BA}$.

3) $\left|\overrightarrow{A B}\right|=\left|\overrightarrow{B C}\right|=\left|\overrightarrow{C A}\right|=a$.

Lời giải

1) Sai.

Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{AC}$.

2) Sai.

Theo định nghĩa, $\overrightarrow{C A}=-\overrightarrow{CA}$ mà $\overrightarrow{CA} \neq \overrightarrow{BA}$.

3) Đúng.

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AB=AC=BC=a$.

Do đó $\left|\overrightarrow{A B}\right|=\left|\overrightarrow{B C}\right|=\left|\overrightarrow{C A}\right|=AB=a$.

Vectơ $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ được gọi là hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$. Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ 

Chú ý. Nếu $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{c}$.

Quy tắc hiệu: Với ba điểm $O,M,N$ tùy ý, ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM.}$ 

 Nhận xét.

⚡Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

⚡Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ 3. Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ phân biệt. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{0}.$

Lời giải

​$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD} = \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right) - \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right) = \overrightarrow{0}$.