Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong tam giác SVIP

1. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $D$ là trung điểm của $BC$ khi đó đoạn thẳng $AD$ gọi là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. 

  Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac23$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ 2. Trong tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $AM,BN,CP$ đồng quy tại $G$ và $AG=\dfrac{2}{3}AM;\,BG=\dfrac{2}{3}BN;\,CG=\dfrac{2}{3}CP.$ 

 Chú ý:

⚡ Điểm $G$ gọi là trọng tâm của tam giác $ABC$.

⚡ Để xác định trọng tâm của tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của chúng.

Ví dụ 3. Cho hình vẽ sau, biết $AM=15$ cm. Tính độ dài đoạn $GM$.

 Lời giải

Ta thấy $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, do đó theo định lí ta có: $AG=\dfrac23 AM$.

Suy ra $GM=\dfrac13 AM=5$ (cm).

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$. Ba đường trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ đồng quy tại $G$. Chứng minh:

$GA + GB + GC = \dfrac{2}{3} (AM + BN + CP)$. 

 Lời giải

Tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó $GA = \dfrac{2}{3}AM;\, GB = \dfrac{2}{3}BN;\, GC = \dfrac{2}{3}CP$.

Do đó $GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)$.