Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác SVIP

1. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Cho tam giác $ABC$, tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Khi đó đoạn thẳng $AD$ được gọi là đường phân giác (của góc $A$) của tam giác $ABC$.

 Chú ý:

⚡ Người ta cũng có thể gọi đường thẳng $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$. 

⚡ Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Ví dụ 1. Trong hai đoạn thẳng $AD, BE$ đoạn thẳng nào là đường phân giác của tam giác $ABC$?

  Lời giải

Đoạn thẳng $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ vì $D$ là giao điểm của tia phân giác góc $A$ với cạnh $BC$.

Đoạn thẳng $BE$ không phải là phân giác của tam giác $ABC$ vì $BE$ không phải là phân giác góc $B$ của tam giác $ABC$.

2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.

Chú ý: Để xác định giao điểm ba đường phân giác của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác $AD,\,BE,\,CI$ cắt nhau tại $K$. Khi đó $KM=KP=KN$.

Ví dụ 3. Tam giác $ABC$ có ba đường phân giác cắt nhau tại $I$. Chứng minh $\widehat{IAB}+\widehat{ICA}+\widehat{IBC}=90^\circ$.

 Lời giải

Vì $I$ là giao của ba đường phân giác trong tam giác $ABC$ nên:

$\widehat{IAB}=\widehat{IAC}=\dfrac12 \widehat{BAC}$;

$\widehat{ICA}=\widehat{ICB}=\dfrac12 \widehat{ACB}$;

$\widehat{IBC}=\widehat{IBA}=\dfrac12 \widehat{CBA}$.

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}+ \widehat{CBA}=180^\circ$.

Suy ra $2\widehat{IAB}+2\widehat{ICA}+2\widehat{IBC}=180^\circ$

$\widehat{IAB}+\widehat{ICA}+\widehat{IBC}=180^\circ:2=90^\circ$