Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng SVIP

1. Tích vô hướng. Tích có hướng

+ Tích vô hướng: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2+a_3b_3$.

+ Tích có hướng: $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right] = \left(\Big|^{a_2 \quad a_3}_{b_2\quad b_3} \Big|; \Big|^{a_3 \quad a_1}_{b_3 \quad b_1} \Big|; \Big|^{a_1 \quad a_2}_{b_1 \quad b_2} \Big|\right)$.

2. Quan hệ cùng phương, đồng phẳng, vuông góc

a. Các vectơ cùng phương, vuông góc, đồng phẳng

+ Cùng phương: $\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$, với $k \in \mathbb{R}$

hoặc $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \ \right] = \overrightarrow{0}$.

+ Vuông góc: $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3 = 0$.

+ Đồng phẳng: $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b},$ $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right].\overrightarrow{c} = 0$.

b. Vị trí tương đối

- giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng:  Click_Bấm để xem bài học

- giữa hai mặt phẳng: Click_Bấm để xem bài học

3. Góc. Diện tích. Thể tích

a. Diện tích và thể tích

+ Diện tích tam giác $ABC$: $S_{ABC} = \dfrac12\left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] \right| $.

+ Diện tích hình bình hành $ABCD$: $S_{ABCD} =\left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right] \right| $.

+ Thể tích tứ diện $ABCD$: $V_{ABCD} =\dfrac16\left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}\right| $.

+ Thể tích hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$: $V_{ABCD.A'B'C'D'} = \left|\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right].\overrightarrow{AA'}\right| $.

b. Góc

+ Góc giữa hai vectơ: $\cos \varphi = \dfrac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\vec{u}|.|\overrightarrow{v}|}$ với $\varphi = \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}$.

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \Phi = \dfrac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{u}|}$ với $\Phi$ là góc giữa $\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, $\overrightarrow{v}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.