Tích của một số với một vectơ SVIP

1. Tích của một số với một vectơ và tính chất

Cho số thực \(k\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Tích của số \(k\) với vectơ \(\overrightarrow{a}\) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\).

Vectơ \(k\overrightarrow{a}\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k< 0\) và có độ dài bằng \(\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|\).

Quy ước \(0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0},k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.\)

Tính chất

Với hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số thực \(h,k\), ta có:

• \(k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b};\)
• \(\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a};\)
• \(h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a};\)
• \(1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.\)

 2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\right)\) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) để \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}.\) 

Nhận xét: Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số thực \(k\) khác \(0\) để \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\).

Chú ý: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Với mọi vectơ \(\overrightarrow{c}\) có duy nhất cặp số \(\left(m;n\right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.\)

Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\), điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB=2MC\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC.}\)

Giải

 Ta có

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}.\)