Phần tự luận (8 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Tần số tương đối của các nhóm $[10; 20)$, $[20; 30)$, $[30; 40)$, $[40; 50)$ lần lượt là:

$f_1 = \dfrac{8.100}{60} \% \approx 13,33\%$;

$f_2 = \dfrac{18.100}{60} \% = 30\%$;

$ f_3 = \dfrac{24 .100}{60} \% = 40\%$;

$ f_4 = \dfrac{10.100}{60} \% \approx 16,67\%.$

b) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu ghép nhóm.

$$f_3 = \frac{24 \cdot 100}{60} \% = 40\%; \quad f_4 = \frac{10 \cdot 100}{60} \% \approx 16,67\%.$$

Hướng dẫn giải:

a) Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega =\{ (1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,2);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3) \}$

b) Xác suất để lấy được $2$ viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ.

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là $n(\Omega)=12$.

Gọi $A$ là biến cố “Lấy được $2$ viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố $A$ là $n(A)=8$.

Xác suất của biến cố A là $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải:

  a) Chứng minh bốn điểm $O$, $I$, $E$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $J$ là trung điểm của $ID$

+) $AB \bot CD$ tại $O$, mà $I \in OB$

Suy ra $\widehat{IOD}=90^\circ \Rightarrow \Delta IOD$ vuông tại $O$,

từ đó suy ra $JO=JI=JD$ (1)

Ta có $\widehat{IED}=90^\circ$ (do là góc nội tiếp chắn cung $CD$) $\Rightarrow \Delta IED$ vuông tại $E$, suy ra $JI = JE = JD$ (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra $O, I, E, D$ cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: $AH.AE=2R^2$ và $OA=3.OH$.

Ta có: $\Delta AHO \sim \Delta ABE$ (g.g)

Suy ra: $AH. AE=AO. AB=R. 2R=2R^2$

Suy ra: $\dfrac{OA}{OH}=\dfrac{AE}{BE}$

Mà $EI$ là tia phân giác của góc $AEB$ nên:

$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AI}{IB}=\dfrac{\dfrac{3}{2}R}{\dfrac{1}{2}R}=3$

Suy ra: $\dfrac{OA}{OH}=3$, do đó $OA=3.OH$

c) Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $BD$, $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BE$. Chứng minh: $Q,\,K,\,I$ thẳng hàng.

Theo ý b) $OA=3.OH$ mà $OA=OD$ nên $OD=3OH$ suy ra $HD=\dfrac{2}{3}OD$

Suy ra $H$ là trọng tâm $\Delta ABD$ (1)

+) Xét tam giác $OBD$ cân tại $O$ có $OK\bot BD$ nên $K$ cũng là trung điểm của $BD$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A,\,H,\,K,\,E$ thẳng hàng

Suy ra: $A,\,H,\,K,\,E$ thẳng hàng

+) Xét tam giác $ABQ$ có $BD$ và $AE$ là các đường cao và $K \in BD$, $K\in AE$. Suy ra $K$ là trực tâm của $\Delta ABQ$.

Suy ra: $KQ$ vuông góc $AB$ (*)

+) Xét tam giác $OBD$ có $IK$ là đường trung bình của tam giác nên $IK\bot AB$ (góc đồng vị) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $Q,\,K,\,I$ thẳng hàng