Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+2}{3}$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d: \, \left\{ \begin{aligned}& x=-1+t \\& y=2-3t \\& z=t \\ \end{aligned} \right.$ với $t \in \mathbb{R}$ và điểm $A(2;3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-\sqrt{2}}=\dfrac{z+\sqrt{2}}{1}$ và mặt phẳng $(Oxz )$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left(1;1;1 \right)$, $B\left(-1;1;0 \right)$, $C\left(1;3;2 \right)$. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ phương?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$ có tọa độ tâm $I$ là

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1$ có tâm là điểm nào dưới đây?

Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $(P): \, x+2y-z+3=0$ và $(Q): \, x-4y+(m-1)z+1=0$ với $m$ là tham số. Giá trị của tham số thực $m$ để mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2 ; 3 ; 2)$ và $B(2 ; 1 ; 0)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\left\{ \begin{aligned}& x=a+2t \\& y=-1-2t \\& z=3+bt \end{aligned} \right.$ và $d_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{1}$.

Các giá trị của $a,\,b$ để $d_1$ trùng với $d_2$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):\,x+y-z+2=0$ và hai đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=t \\ & z=2+2t \end{aligned} \right.$; $d':\,\left\{ \begin{aligned} & x=3-{t}' \\ & y=1+{t}' \\ & z=1-2{t}' \end{aligned} \right.$. Biết rằng có hai đường thẳng có các đặc điểm: song song với $\left( P \right)$; cắt $d,\,d'$ và tạo với $d$ góc $30^\circ$. Khi đó, $\cos$ của góc tạo bởi hai đường thẳng bằng

Trong không gian $$Oxyz$$, cho điểm $$I\left( 1\,;\,4\,;\,0 \right)$$. Mặt cầu $$\left( S \right)$$ tâm $$I$$ và đi qua $$M\left( 1\,;\,4\,;\,-2 \right)$$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;3;-1),\,B(4;1;0),\,C(4;7;3)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(1;1;3 ),\,B(-1;3;2 ),\,C(-1;2;3 )$.

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}& x=t \\& y=-1+2t \\& z=2-t \end{aligned} \right.,\ t\in \mathbb{R},$ cắt mặt phẳng $(P ):x+y+z-3=0$ tại điểm $I$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.