Biết rằng hai mặt phẳng $(P ):x+2y+3z+1=0$ và $(Q ):(m+1 )x+(m+3 )y+6z+1=0$ song song với nhau. Giá trị của $m$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ mặt phẳng $(P): \, \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{-1}=1$, có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $Δ :\dfrac{x+1}{-5}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{\sqrt{2}}$. Khi đó góc giữa đường thẳng $Δ$ và trục $Oy$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{-2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+1}{-1}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng vuông góc với $d$?

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng $(P)$: $x+2y-2z+3=0$ và $(Q)$: $-x-2y+2z-12=0$ lần lượt chứa hai mặt bên của một hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): \, 3x-ay+6z-10=0$ và $(Q): \, (b-1)x-y+2z-2\,022=0$, với $a,\,b\in \mathbb{R}$. Biết rằng mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$, giá trị biểu thức $T=a+b$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):\,x+y-z+2=0$ và hai đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=t \\ & z=2+2t \end{aligned} \right.$; $d':\,\left\{ \begin{aligned} & x=3-{t}' \\ & y=1+{t}' \\ & z=1-2{t}' \end{aligned} \right.$. Biết rằng có hai đường thẳng có các đặc điểm: song song với $\left( P \right)$; cắt $d,\,d'$ và tạo với $d$ góc $30^\circ$. Khi đó, $\cos$ của góc tạo bởi hai đường thẳng bằng

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai đường thẳng bằng cách gắn hệ tọa độ ${O x y z}$ vào khung lưới ô vuông và tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Giả sử, đường thẳng $a$ đi qua hai nút lưới $M(1 ; 1 ; 2)$ và $N(0 ; 3 ; 0)$, đường thẳng $b$ đi qua hai nút lưới $P(1 ; 0 ; 3)$ và $$Q\left( 3;3;9 \right)$$. Sau khi làm tròn đến hàng đơn vị của độ thì góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng $n^\circ$ ($n$ là số tự nhiên). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $$Oxyz$$, cho mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+4y-6z+9=0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu là

Phương trình mặt cầu $$\left( S \right)$$ đi qua $$A\left( 3;-1;2 \right),\text{ }B\left( 1;1;-2 \right)$$ và có tâm $$I$$ thuộc trục $$Oz$$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(2;6;-3 )$ và các mặt phẳng $(\alpha): \, x-2=0$, $(\beta): \, y-6=0$, $(\gamma): \, z+3=0$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $M(2;0;-1)$, $N(1;-1;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):\,3x+2y-z+5=0$.

Trong không gian ${O}{x}{y}{z}$, cho các đường thẳng $Δ :\left\{ \begin{aligned} & x=-t \\ & y=2-3t \\ & z=1+2t \end{aligned} \right.$, ${Δ }':\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z+2}{2}$ và $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $( P ):x+2y-z+1=0$ và $( Q ):2x+3z-2=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.