Dấu của nhị thức bậc nhất SVIP

1. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lý

Nhị thức bậc nhất $f(x) = ax+b$ ($a\ne 0$) có nghiệm \(x_0=-\dfrac{b}{a}\), $f(x)$ có giá trị:

+) cùng dấu với hệ số $a$ khi \(x\in\left(-\dfrac{b}{a};+\infty\right)\) hay \(x>x_0\);

+) cùng dấu với hệ số $a$ khi \(x\in\left(-\infty;-\dfrac{b}{a}\right)\) hay \(x< x_0\).

Bảng xét dấu

Trục số

Nghiệm \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) của nhị thức \(f\left(x\right)=ax+b\left(a\ne0\right)\) chia trục số thành hai khoảng.

Đồ thị

Ví dụ: Xét dấu nhị thức $g(x) = -2x + 4$.

$g(x)$ có nghiệm $x_0 = 2$ và có hệ số $a = -2 < 0$.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, kết luận: $g(x) < 0$ khi $x>2$; $g(x) > 0$ khi $x<2$.

2. Xét dấu tích thương các nhị thức bậc nhất

​Xem video này để hiểu rõ hơn cách xét dấu biểu thức là tích thương các nhị thức bậc nhất.

Ví dụ: Xét dấu biểu thức \(f\left(x\right)=\dfrac{\left(4x-1\right)\left(x+2\right)}{-3x+5}\)

Giải: 

$f(x)$ không xác định khi $x=\dfrac{5}{3}$.

Các nhị thức $4x - 1; x+2; -3x+5$ có các nghiệm lần lượt là \(\dfrac{1}{4};-2;\dfrac{5}{3}\). Các nghiệm này chia khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) thành bốn khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác định.

Từ bảng xét dấu ta thấy: 

$f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty;-2)$ hoặc \(x\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{3}\right)\); $f(x) < 0$ khi \(x\in\left(-2;-\dfrac{1}{4}\right)\) hoặc \(x\in\left(\dfrac{5}{3};+\infty\right)\);

$f(x) = 0$ khi \(x=-2\) hoặc \(x=\dfrac{1}{4}\); $f(x)$ không xác định khi \(x=\dfrac{5}{3}\) (kí hiệu bởi || trong bảng).

3. Áp dụng vào giải bất phương trình

Bất phương trình tích/ chứa ẩn ở mẫu thức

Ví dụ: Giải bất phương trình \(\dfrac{1}{1-x}\ge1\quad\left(1\right)\).

Giải: Ta biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng \(f\left(x\right)\ge0\), sau đó xét dấu biểu thức $f(x)$ để tìm ra khoảng mà $f(x)$ mang dấu dương hoặc bằng $0$.

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-x}\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-x}-1\ge0\Leftrightarrow\dfrac{x}{1-x}\ge0.\)

Xét dấu biểu thức \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{1-x}\) ta suy ra nghiệm của bất phương trình $(1)$ là \(0\le x< 1\).

Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Giải bất phương trình \(\left|x-1\right|\le2\left|-x-4\right|+x-2\)

Giải: Khử dấu giá trị tuyệt đối

​Xem video này để hiểu rõ hơn cách xét lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối.

Dựa vào bảng trên ta có

a) với $x \le -4$, bất phương trình thành

\(-x+1\le-2x-7+x-2\) hay \(1\le-10\),

do đó trong khoảng \(\left(-\infty;-4\right]\), bất phương trình vô nghiệm.

b) Với \(-4< x\le1\), bất phương trình trở thành 

\(-x+1\le2x+8+x-2\)

\(\Leftrightarrow4x\ge-5\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{5}{4}.\)

Do đó, trong khoảng \(\left(-4;1\right]\) phương trình có nghiệm \(-\dfrac{5}{4}\le x\le1\).

c) với $x>1$, bất phương trình trở thành 

\(x-1\le2x+8+x-2\)

\(\Leftrightarrow2x\ge-7\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{5}{2}.\)

Vậy mọi $x>1$ đều là nghiệm của bất phương trình.

Tổng hợp các kết quả ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{5}{4}\le x\le1\\x>1\end{matrix}\right.\) hay \(x\ge-\dfrac{5}{4}.\)