Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn SVIP
Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A}=60^\circ$. Gọi $E,\,F,\,G,\,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\,BC,\,CD,\,DA$. Chứng minh rằng $6$ điểm $E,\,F,\,G,\,H,\,B,\,D$ cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Xét tứ giác $EFGH$, có: $EF$ // $GH$ và $EH$ // $FG$ suy ra $EFGH$ là hình bình hành.
Mà $\widehat{HEF}=90^\circ$ nên $EFGH$ là hình chữ nhật .
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ suy ra $OE=OF=OG=OH$ (1)
Xét tam giác $OBE$ có:
$OE=BE$
$\widehat{B}=60^\circ$
Suy ra $\Delta OBE$ đều hay $OE=OB=OD$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OE=OB=OF=OG=OH=OD$ hay $E, \, B, \, F, \, G, \, D, \, H \in (O)$.
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ là trung điểm của $BC$. Hạ $MD, \, ME$ theo thứ tự vuông góc với $AB, \, AC$. Trên tia đối của tia $DB$ và $EC$ lần lượt lấy các điểm $I, \, K$ sao cho $D$ là trung điểm của $BI$, $E$ là trung điểm của $CK$. Chứng minh rằng $B, \, I, \, C, \, K$ cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng định nghĩa ta có: $M$ là trung điểm $BC$ suy ra $MB=MC=\dfrac{1}{2}BC$ (1)
$MD$ là trung trực của $BI$ suy ra $MI=MB$ (2)
$ME$ là trung trực của $CK$ suy ra $MC=MK$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $MB=MC=MI=MK=\dfrac{1}{2}BC$ (đpcm).
Gọi $I$, $K$ theo thứ tự là các điểm nằm trên $AB$, $AD$ của hình vuông $ABCD$ sao cho $AI=AK$. Đường thẳng kẻ qua $A$ vuông góc với $DI$ ở $P$ và cắt $BC$ ở $Q$. Chứng minh rằng $C, \, D, \, P, \, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có $\Delta ADI=\Delta BAQ$ (g-c-g) suy ra $AI=BQ$
Ta có $KD=CQ$ và $KD$ // $CQ$ suy ra $KDCQ$ là hình bình hành, mà $\widehat{C}=60^\circ$ nên $CDKQ$ là hình chữ nhật.
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $CK$ và $DQ$ suy ra $OC=OD=OK=OQ$
$\Delta PDQ$ vuông cân tại $P$ nên $PQ=OD=OC$.
Vậy năm điểm $C, \, D, \, K, \, P, \, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác $ABC$, ba đường cao $AD, \, BE, \, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I, \, J, \, K, \, L$ lần lượt là trung điểm của $AB, \, AC, \, HC, \, HB$. Chứng minh rằng năm điểm $I, \, J, \, K, \, L, \, E, \, F$ thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có tứ giác $IJKL$ là hình bình hành (dhnb)
Mà $\widehat{ILK}=90^\circ$ nên $IJKL$ là hình chữ nhật có hai đường chéo là $LJ$ và $IK$
Xét tam giác vuông $ELJ$ vuông tại $E$ nên $OE=\dfrac{1}{2}LJ=OJ$
Xét tam giác vuông $FLK$ vuông tại $I$ nên $OF=\dfrac{1}{2}IK=OJ$.
Vậy $6$ điểm $I, \, J, \, K, \, L, \, E, \, F$ thuộc một đường tròn đường kính là đường chéo của hình chữ nhật.
Cho hình vuông $ABCD$, gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $M, \, N$ lần lượt là trung điểm của $OB, \, CD$.
a) Chứng minh rằng $A, \, M, \, N, \, D$ thuộc một đường tròn.
b) So sánh $AN$ và $DM$.
Hướng dẫn giải:
a. Kẻ $NH$ vuông góc với $BD$ tại $H$
Xét tam giác $OCD$, có: $DN=NC$ và $NH$ // $OC$
Suy ra $HO=HD=\dfrac{1}{2}CD$ và $MO=MB=\dfrac{1}{2}OB$
Suy ra $MH=\dfrac{1}{2}BD=OA$.
Ta có: $\Delta OAM=\Delta HNM$ (c.g.c) suy ra $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{M}_{1}}} $ và $\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{M}_{2}}}={{90}^\circ}$
Suy ra $\widehat{AMN}=90^\circ$
Gọi $I$ là trung điểm của $AN$ nên $IA=IN=\dfrac{1}{2}AN$ (1)
Xét $\Delta ADN$ có $\widehat{D}=90^\circ$ nên $ID=\dfrac{1}{2}AN$ (2);
$\Delta AMN$ có $\widehat{M}=90^\circ$ nên $MI=\dfrac{1}{2}AN$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $IA=IN=IM=ID$ hay $A, \, M, \, N, \, D\in (O)$
b. Xét đường tròn $( I;IA)$ có $AN$ là đường kính, $DM$ là dây không đi qua tâm nên $AN>DM$.