Bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối SVIP

Cho $a>b$ và $c>d$. Những bất đẳng thức nào sau đây suy ra được từ giả thiết đã cho?

Cho $a,b,c$ là 3 số bất kì thỏa mãn điều kiện $a>b$. Những bất đẳng thức nào sau đây suy ra được từ giả thiết đã cho?

Nếu $a>b$ và $c>d$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực $a$?

Nếu $0< a< 1$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho bài toán:

Chứng minh rằng $x^3+y^3\ge x^2y+xy^2,\forall x\ge0,\forall y\ge0$

Sắp xếp các dòng dưới đây để được lời giải đúng.

Bài giải:

Ta cần chứng minh: $x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$ (1)

• $\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0$
• $\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0$
• Bất đẳng thức cuối luôn đúng với $\forall x,y \ge 0 \Rightarrow$ (1) luôn đúng với $\forall x,y \ge 0$. Đẳng thức chỉ xảy ra khi $x=y \ge 0$.
• (1) $\Leftrightarrow x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)\ge0$
• $\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0$

Cho bài toán:

Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1},\forall a\ge1$.

Hãy sắp xếp các dòng dưới đây để được lời giải đúng.

Bài giải:

Hai vế của bất đẳng thức đều dương nên ta có

$\dfrac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2< \left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)^2$

• $\Leftrightarrow0\le\dfrac{1}{a^2}$ (luôn đúng)
• $\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}< \left(a+1\right)+\left(a-1\right)-2\sqrt{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}$
• $\Leftrightarrow2\sqrt{a^2-1}< 2a-\dfrac{1}{a}$
• $\Leftrightarrow4\left(a^2-1\right)< \left(2a-\dfrac{1}{a}\right)^2$
  (bình phương hai vế được vì $a\ge 1 \Rightarrow 2a \ge 2, \dfrac{1}{a} \le 1 \Rightarrow 2a-\dfrac{1}{a} \ge 0$)

Suy ra bất đẳng thức đã cho đúng.

Cho hai số thực tùy ý $a, b$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Nếu $\left|x\right|< a$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

Cho ba số thực tuỳ ý $z,y,x$. Bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?