Kiến thức trọng tâm: Hệ phương trình - giải toán bằng cách lập hệ phương trình (phần 2) SVIP

DẠNG 3. GIẢI BÀI TOÁN NĂNG SUẤT BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp:

Công thức chung: Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian

Ta thường xem toàn bộ công việc là 1.

Bài 1: Hai đội công nhân dệt may cần sản xuất một số lượng khẩu trang theo đơn đặt hàng. Nếu làm chung thì sau $4$ giờ họ sẽ làm xong. Nhưng hai đội mới làm chung được $3$ giờ thì đội 1 nghỉ, đội 2 tiếp tục làm trong $3$ giờ nữa mới xong công việc. Mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới xong công việc đó?

Lời giải

Gọi thời gian đội 1 hoàn thành công việc một mình là $x$ (giờ, $x>4$).

Thời gian đội 2 hoàn thành công việc một mình là $y$ (giờ, $y>4$).

Trong một giờ, đội 1 làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc); đội 2 làm được $\dfrac{1}{y}$ (công việc).

Trong một giờ, cả hai đội làm được $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ (công việc).

Trong bốn giờ, cả hai đội làm được $4\Big( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \Big)$ (công việc).

Khi đó cả hai đội làm xong việc nên ta có phương trình là:

$4\Big( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \Big)=1$ (1)

Trong ba giờ, cả hai đội làm được $3.\Big( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \Big)$ (công việc);

Trong ba giờ, đội 2 làm được $3.\dfrac{1}{y}$ (công việc).

Theo bài ra ta có phương trình:

$3.\Big( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \Big)+3.\dfrac{1}{y}=1$ hay $3.\dfrac{1}{x}+6.\dfrac{1}{y}=1$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned} & 4\Big( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \Big)=1 \\ & 3.\dfrac{1}{x}+6.\dfrac{1}{y}=1 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & x=6 \\ & y=12 \\ \end{aligned} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy đội 1 làm một mình trong $6$ giờ xong, đội 2 làm một mình trong $12$ giờ xong công việc.

Bài 2: Tháng thứ nhất hai đội sản xuất được $1\,100$ sản phẩm. Sang tháng thứ hai, đội $I$ làm vượt mức $15\%$ và đội $II$ làm vượt mức $20\%$ so với tháng thứ nhất, vì vậy cả hai đội đã làm được $1\,295$ sản phẩm. Trong tháng thứ nhất mỗi đội làm được bao nhiêu sản phẩm?

Lời giải

Gọi số sản phẩm tháng thứ nhất đội $I$ làm được là $x$ (sản phẩm), $(x \in \mathbb{N}^*,\,x<1\,100)$;

Số sản phẩm tháng thứ nhất đội $II$ làm được là $y$ (sản phẩm), $(y \in \mathbb{N}^*,\,y<1\,100)$.

Vì tháng thứ nhất hai đội sản xuất được $1\,100$ sản phẩm nên ta có phương trình:

$x+y=1\,100$ (1)

Số sản phẩm tháng thứ hai đội $I$ làm được là: $x+15\%x=1,15x$ (sản phẩm);

Số sản phẩm tháng thứ hai đội $II$ làm được là $y+20\%y=1,2y$ (sản phẩm).

Theo bài ra ta có phương trình $1,15x+1,2y=1\,295$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x+y=1 \, 100 \\ & 1,15x+1,2y=1 \, 295 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & y=600 \\& x=500 \\ \end{aligned} \right.$. (thoả mãn)

Vậy tháng thứ nhất đội $I$ làm được là $500$ sản phẩm, đội $II$ làm được là $600$ sản phẩm.

DẠNG 3. GIẢI BÀI TOÁN CẤU TẠO SỐ BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp

Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số , ba chữ số …viết trong hệ thập phân. điều kiện của các chữ số .

⚡Biểu diễn số có hai chữ số: $\overline{ab}=10a+b$ với $0<a\le 9;\,0\le b\le 9;\,a,b\in \mathbb{N}$;

⚡Biểu diễn số có ba chữ số: $\overline{abc}=100a+10b+c$ với $0<a\le 9;\,0\le b,c\le 9;\,a,b,c\in \mathbb{N}$.

Bài 3: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là $9$. Nếu thêm vào số đó $63$ đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?

Lời giải

Gọi chữ số hàng chục là $x$ ($0<x \le 9;\,x \in \mathbb{N}$ )

Gọi chữ số hàng đơn vị là $y$ ($0<y\le 9;y \in \mathbb{N}$ )

Vì tổng hai chữ số là $9$ nên: $x+y=9$ (1)

Số cần tìm là: $\overline{xy}=10x+y$ suy ra $\overline{yx}=10y+x$

Ta có: $\overline{xy}+63=\overline{yx}$

$10x+y+63=10y+x$

$ x-y=-7$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x+y=9 \\ & x-y=-7 \\ \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=8 \\ \end{aligned} \right.$

$ \overline{xy}=18$.

Vậy số cần tìm là $18$

DẠNG 4. GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp: Ghi nhớ công thức tính chu vi, diện tích của các hình

Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $24$ m. Nếu tăng chiều dài lên $2$ m và giảm chiều rộng đi $1$ m thì diện tích mảnh đất tăng thêm $1$ m². Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.

Lời giải

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là $x$ (m), chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là $y$ (m).

Điều kiện: $0<x<12$, $x<y<12$.

Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $24$, ta có phương trình:

$2( x+y )=24$ hay $x+y=12$ (1).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là: $x.y$ (m²).

Chiều dài sau khi tăng lên $2$ m là: $x+2$ (m), chiều rộng sau khi giảm đi $1$ m là: $y-1$ (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật sau khi thay đổi là: $( x+2 )( y-1 )$ (m²).

Diện tích mảnh đất tăng thêm $1$ m² nên ta có phương trình:

$(x+2 )( y-1 )-xy=1$ hay $-x+2y=3$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned} & x+y=12 \\ & -x+2y=3 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & x=7 \\ & y=5 \\ \end{aligned} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy mảnh đất hình chữ nhật ban đầu có chiều dài là $7$ (m), chiều rộng là $5$ (m).

DẠNG 5. GIẢI BÀI TOÁN TỈ SỐ PHẦN TRĂM BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp: $x\% = \dfrac{x}{100}$

⚡Công thức tính khối lượng riêng của dung dịch: $D = \dfrac mV$ (kg/m³), trong đó $m$ là khối lượng dung dịch (kg), $V$ là thể tích dung dịch (m³).

⚡Nồng độ phần trăm của dung dịch = (Khối lượng chất tan) : (Khối lượng dung dịch)

$C\% = \dfrac{m_{ct}}{m_d} . 100\%$

Bài 5: Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là $25,4$ triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm $40\%$ giá niêm yết và máy giặt giảm $25\%$ giá niêm yết, vì thế cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là $16,77$ triệu đồng. Giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt lần lượt là $x,\,y$ (triệu đồng), $( 0<x<25,4;\,0<y<25,4).$

Theo bài, giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là $25,4$ triệu đồng nên ta có:

$x+y=25,4.$ $(1)$

Do tủ lạnh được giảm $40\%$ giá niêm yết nên giá của chiếc tủ lạnh sau giảm giá là $60\%x=0,6x$ (triệu đồng).

Do máy giặt được giảm $25\%$ giá niêm yết nên giá của chiếc máy lạnh sau giảm giá $75\%y=0,75y$ (triệu đồng).

Theo bài, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là $16,77$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$0,6x+0,75y=16,77$ $( 2 )$

Từ $(1)$ và $( 2 )$, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned} & x+y=25,4 \\ & 0,6x+0,75y=16,77 \\ \end{aligned} \right.$

Giải hệ ta được: $\left\{ \begin{aligned} & x=15,2 \\ & y=10,2 \\ \end{aligned} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là $15,2$ triệu đồng và giá niêm yết của một chiếc máy giặt là $10,2$ triệu đồng.