Kiến thức trọng tâm: Hệ phương trình - giải toán bằng cách lập hệ phương trình (phần 1) SVIP

1. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

+ Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{ \begin{aligned}  & a_1x+b_1y=c_1 \\ & a_2x+b_2y=c_2 \\ \end{aligned} \right.$  (I), ở đó mỗi phương trình $a_1x+b_1y=c_1$ và $a_2x+b_2y=c_2$ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu cặp số $(x_0;y_0)$ là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp $(x_0;y_0)$ được gọi là nghiệm của hệ (I).

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

2. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta thực hiện theo các bước sau:       

⚡Bước 1: Lập hệ phương trình                               

+ Chọn hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.                          

+ Biểu diễn các đại lượng liên quan theo các ẩn và các đại lượng đã biết.                   

+ Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.    

⚡Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.       

⚡Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán (thoả mãn điều kiện ở bước 1) và kết luận.

DẠNG 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp:

⚡Bước 1: Thế để đưa về phương trình một ẩn                              

Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn.                    

⚡Bước 2: Giải phương trình một ẩn                       

Giải phương trình một ẩn ở bước 1 để tìm giá trị ẩn đó.                  

⚡Bước 3: Tìm ẩn còn lại và kết luận                       

Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Bài 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x-2y=1 \\ & 3x+y=10 \\ \end{aligned} \right.$.

Lời giải

$\left\{ \begin{aligned}  & x-2y=1\,\,( 1 ) \\  & 3x+y=10\,\,( 2 ) \\ \end{aligned} \right.$

Từ $(1)$ ta được $x=1+2y$, thay vào $(2)$ có:

$3( 1+2y )+y=10$               

$7y=7$        

$y=1$

Thay $y=1$ vào $x=1+2y$, tìm được $x=3$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $( x;y )=( 3;1 )$.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp:

⚡Bước 1: Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau                      

Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

⚡Bước 2: Đưa về phương trình một ẩn                  

Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở bước 1 để được một phương trình một ẩn. Rồi giải phương trình một ẩn đó.    

⚡Bước 3: Tìm ẩn còn lại và kết luận                                   

Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & 3x+y=1 \\ & x-2y=5 \\ \end{aligned} \right.$.

Lời giải

Nhân $2$ vào hai vế của phương trình thứ nhất ta được hệ mới: $\left\{ \begin{aligned}&  6x+2y=2 \\ & x-2y=5 \\ \end{aligned} \right.$.

Cộng vế với vế của hai phương trình trên, ta có: $7x=7$, suy ra $x=1$.

Thay $x=1$ vào phương trình $x-2y=5$, tìm được $y=-2$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $( x;y )=( 1;-2 )$.

DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Công thức: Áp dụng công thức:

$S=v.t$ hay $v=\dfrac{S}{t}; \, t=\dfrac{S}{v}$

Với chuyển động trên dòng nước: gọi vận tốc thực của canô là $v_1$; vận tốc dòng nước là $v_2$, khi đó ta có:                

+ Vận tốc canô xuôi dòng là $v_1+v_2$                 

+ Vận tốc canô ngược dòng là $v_1-v_2$   

Từ đó ta có $v_{\text{xuôi}}+v_{\text{ngược}}=2.v_{\text{thực}}$.

Loại 1. Chuyển động có thời gian, vận tốc dự định

Phương pháp

+ Chọn vận tốc và thời gian dự định làm ẩn.

+ Quãng đường dự định và thực tế là không đổi, từ đó ta lập được các phương trình.

+ Gọi thời gian dự định là $t$ (h):

Nếu đến trước, đến sớm, đi nhanh,… so với dự định $a$ (h) thì thời gian thực tế là $t - a$ (h).

Nếu đến sau, đến muộn, đi chậm,… so với dự định $b$ (h) thì thời gian thực tế là $t + b$ (h).

+ Lập bảng tóm tắt cách giải…

Bài 3: Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng $20$ km/h thì đến sớm $1$ giờ, nếu vận tốc giảm đi $10$ km/h thì đến muộn $1$ giờ. Tính quãng đường AB.

Lời giải

Để tính quãng đường AB ta tính đại lượng là vận tốc dự định và thời gian dự định.

Gọi vận tốc dự định là $x$ giờ, thời gian dự định là $y$ km/h $(x>10, \, y>1$).

Quãng đường AB dài là $x.y$ (km)

Nếu vận tốc tăng thêm $20$ km/h thì đến sớm $1$ giờ, quãng đường được tính bằng công thức:

$( x+20 ).( y-1 )$ (km);

Nếu giảm vận tốc đi $10$ km/h thì đến muộn $1$ giờ, quãng đường đi được tính bằng công thức $( x-10 ).( y+1 )$ (km)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}   & ( x+20 )( y-1 )=xy \\  & ( x-10 )( y+1 )=xy \\ \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned}   & xy-x+20y-20=xy \\  & xy+x-10y-10=xy \\ \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned}  & -x+20y=20 \\  & x-10y=10 \\ \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned} & 10y=30 \\  & x=10y+10 \\ \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned}   & y=3 \\  & x=40 \\ \end{aligned} \right.$

So sánh với điều kiện ta thấy giá trị $x=40, \, y=3$ thỏa mãn

Vậy vận tốc dự định là $40$ km/h, thời gian dự định là $3$ giờ.

Quãng đường AB dài là: $40.3=120$ km.

Loại 2. Chuyển động cùng chiều, ngược chiều

Phương pháp:

⚡Nếu hai phương tiện chuyển động ngược chiều, cùng xuất phát, khi gặp nhau lần đầu thì ta có:

+ Thời gian 2 phương tiện đi được là như nhau.

+ Tổng quãng đường 2 phương tiện đi được là bằng quãng đường cần đi của 2 phương tiện.

⚡Nếu 2 phương tiện chuyển động cùng chiều từ 2 địa điểm khác nhau A và B; phương tiện đi từ A nhanh hơn phương tiện đi từ B; khi phương tiện đi từ A đuổi kịp phương tiện đi từ B thì ta có:

+ Thời gian 2 phương tiện đi được là như nhau.

+ Hiệu quãng đường phương tiện A đi được với quãng đường phương tiện B đi được bằng quãng đường AB.

Bài 4: Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm $A$ và $B$ cách nhau $180$ km, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $2 $ giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là $10$ km/h. Tính vận tốc của mỗi xe?

Lời giải

Gọi vận tốc của ô tô là $x$ (km/h). ($x>10$);

Gọi vận tốc của xe máy là $y$ (km/h), ($0<y<0$).

Ta có phương trình: $x-y=10$ (1)

Sau $2$ giờ ô tô đi được: $2x$ (km)   

Sau $2$ giờ ô tô đi được: $2y$ (km)

Theo giả thiết ta có phương trình $2x+2y=180$ (2)

Từ (1), (2) ta được $x=50; \, y=40$ (km/h).

Loại 3. Có hai phương tiện chuyển động

Phương pháp

+ Nếu chọn vận tốc của phương tiện A làm ẩn $x$ thì:

Khi phương tiện B có vận tốc lớn hơn, đi nhanh hơn,… phương tiện A là $a$ (km/h), lúc đó vận tốc của phương tiện B là $x + a$ (km/h).

Khi phương tiện B có vận tốc nhỏ hơn, ít hơn, đi chậm hơn… phương tiện A là $b$ (km/h), lúc đó vận tốc của phương tiện B là $x - b$ (km/h).

+ Cách tính thời gian của từng phương tiện được căn cứ vào chênh lệch vào thời gian của các phương tiện:

Nếu phương tiện A đến trước, đi nhanh hơn,… phương tiện B là $m$ (h) thì $t_A + m=t_B$.

Nếu phương tiện A đến sau, đi chậm hơn,… phương tiện B là $n$ (h) thì $t_A - n = t_B$.

(Trong đó $t_A$, $t_B$ lần lượt là thời gian của phương tiện A, B).

Bài 5: Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau $200$ km, đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ. Tìm vận tốc của ô tô và xe máy, biết rằng nếu vận tốc của ô tô tăng thêm $10$ km/h và vận tốc của xe máy giảm đi $5$ km/h thì vận tốc của ô tô bằng $2$ lần vận tốc của xe máy.

Lời giải

Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là $x,\,y$ (km/h)$, (điều kiện: $x,\,y>0$)

Sau $2$ giờ ô tô đi được quãng đường là: $2x$ (km);

Sau $2$ giờ xe máy đi được quãng đường là: $2y$ (km).

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau $200$ km, đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ nên ta có phương trình:

$2x+2y=200$ hay $x+y=100$ (1)

Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm $10$ km/h thì vận tốc mới của ô tô là: $x+10$ (km/h).

Nếu vận tốc của xe máy giảm đi $5$ km/h thì vận tốc mới của xe máy là: $y-5\,\,\left( km\text{/}h \right)$

Vì vận tốc của ô tô tăng thêm $10$ km/h và vận tốc của xe máy giảm đi $5$ km/h thì vận tốc của ô tô bằng $2$ lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình:

$x+10=2( y-5 )$ hay $ x-2y=-20$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned} & x+y=100 \\  & x-2y=-20 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} & 3y=120 \\ & x-2y=-20 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned}  & y=40 \\ & x=60 \\ \end{aligned} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của ô tô là $60$ km/h và vận tốc của xe máy là $40$ km/h.

Loại 4. Chuyển động có dòng nước

Phương pháp

+ Gọi vận tốc tàu, bè, ca nô… là $x$ (km/h); vận tốc dòng nước là $y$ (km/h).

+ Khi đó vận tốc xuôi dòng là $x + y$ (km/h); vận tốc ngược dòng là $x - y$ (km/h). Điều kiện: $x > y$.

+ Tìm thời gian xuôi dòng, ngược dòng từ đó lập các phương trình rồi suy ra hệ phương trình.

Bài 6: Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài $72$ (km), rồi chạy ngược dòng khúc sông ấy $64$ (km) hết tất cả $7$ h. Nếu ca nô chạy xuôi dòng $120$ (km) rồi chạy ngược dòng $32$ (km) cũng hết $7$ h. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của nước.

Lời giải

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h);

Gọi vận tốc của nước là $y$ (km/h), ($x,y>0$).

Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là $x+y$ thì thời gian xuôi dòng là $\dfrac{72}{x+y}$ (h);

Vận tốc ca nô khi ngược dòng là $x-y$ thì thời gian ngược dòng là $\dfrac{64}{x-y}$ (h).

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}  & \dfrac{72}{x+y}+\dfrac{64}{x-y}=7 \\  & \dfrac{120}{x+y}+\dfrac{32}{x-y}=7 \\ \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned}  & x=20 \\ & y=4 \\ \end{aligned} \right.$

Vậy vận tốc riêng của canô là $20$ (km/h) và vận tốc của dòng nước là $4$ (km/h).