Giới hạn của dãy số (Nâng cao) SVIP

Dãy số  $\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};...$ có giới hạn bằng 1 vì số hạng tổng quát là $u_n=\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}.$

Dãy số $\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};\dfrac{4}{5};...$ có số hạng tổng quát $v_n=u_{n+1}$ cũng có giới hạn bằng 1.

Tổng quát, với mọi mọi dãy $(u_n)$, nếu $\lim u_n = a$ (hữu hạn) thì $\lim u_{n+1} = a$.

Sử dụng tính chất trên, tính $\lim u_n$ biết $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{aligned}&u_1=\sqrt{3}\\&u_{n+1}=\sqrt{u_n+\text{6}}, \, n\ge 1\end{aligned}\right.$ và $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n \rightarrow +\infty$.

Tính $\lim \left( 4^n + \dfrac{3}{n} \right)$.

Tính: $\lim\left[\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{\pi}\right)^n+\dfrac{3^n}{4^n}\right]$.

$\lim\left[9^n-\left(-3\right)^n\right]$ bằng

Tính $\lim\left[n\left(\sqrt{n^2-4}-\sqrt{n^2+2}\right)\right].$

Hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ thỏa mãn $\lim v_n = 0$ và $|u_n| \le v_n$ với mọi $n$.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Khẳng định nào dưới đây sai?

Tính tổng $S=2-\sqrt{2}+1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}+...$

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn $a = 1,252525...$ (chu kì $25$).

Biết rằng $a= \dfrac{m}{n}$ ($m,n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau), tổng $m + n$ bằng