Giải tam giác và ứng dụng thực tế SVIP

1. GIẢI TAM GIÁC

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó

Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B}=60^{\circ},\widehat{C}=45^{\circ},AB=5\). Tính:

a) Số đo góc \(\widehat{A}\)?

b) Tính độ dài cạnh \(AC\) và \(BC\)?

Giải

a) Áp dụng tổng ba góc trong một tam giác \(180^\circ\) , ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\)

suy ra \(\widehat{A}=180^\circ-\widehat{B}-\widehat{C}=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\).

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta được:

\(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\) do đó:

\(AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{5.\sin60^{\circ}}{\sin45^{\circ}}\approx6,12\) ;

\(BC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin A}=\dfrac{5.\sin60^\circ}{\sin75^\circ}\approx4,48\).

2. ÁP DỤNG GIẢI TAM GIÁC VÀO THỰC TẾ

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ. Từ vị trí \(A\) người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết \(AH=4\) m, \(HB=20\) m, \(\widehat{BAC}=45^\circ\). Tính chiều cao của cây?

Giải

Trong tam giác vuông \(AHB\) có \(\tan\widehat{ABH}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\widehat{ABH}\approx11^\circ19'\)

Ta có \(\widehat{ABH}+\widehat{ABC}=90^\circ\Rightarrow\widehat{ABC}=90^\circ-\widehat{ABH}\approx90^\circ-11^\circ19'\approx78^\circ41'\)

suy ra \(\widehat{ACB}=180^\circ-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right)\approx56^\circ19'\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(ABC\) ta được:

\(\dfrac{BC}{\sin\widehat{BAC}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\dfrac{AB.\sin\widehat{BAC}}{\sin\widehat{ACB}}\approx17\) m.

Vậy chiều cao của cây là \(17\) m.