Đề thi tuyển sinh lớp 10 Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2019 - 2020 SVIP

Hướng dẫn giải:

1.

$A = (\sqrt{12}-2\sqrt5)\sqrt3 + \sqrt{60} = \sqrt{36} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 6.$

2.

Với $0<x<3$ ta có

$B = \dfrac{\sqrt{4x}}{x-3}.\sqrt{\dfrac{x^2-6x+9}x} = \dfrac{2\sqrt x}{x-3}.\sqrt{\dfrac{(x-3)^2}x} = \dfrac{-2\sqrt x}{3-x}.\dfrac{|x-3|}{\sqrt x} = \dfrac{-2\sqrt x(3-x)}{(3-x)\sqrt x} = -2.$

Hướng dẫn giải:

1.

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $M(1;-1)$ nên $a+b = -1.$

và đi qua điểm $N(2;1)$ nên $2a + b = 1$.

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & a + b = -1\\ & 2a + b = 1\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a = 2\\ & b = -3\\ \end{aligned}\right.$.

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x - 3.$

2.a

Với $m = 4$, phương trình $(1)$ trở thành: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

$\Delta = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 3$ và $x_2 = 5$.

2.b.

Ta có $\Delta ' = (-m)^2 - 1.(m^2-m+3) = m^2 - m^2 + m -3 = m - 3$.

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ khi $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 3.$

Với $m \ge 3$, áp dụng định lí Vi-et $\left\{ \begin{aligned} & x_1 + x_2 = 2m\\ & x_1x_2 = m^2 - m + 3\\ \end{aligned}\right.$

Ta có: $P = m^2 - m + 3 - 2m = m(m-3) + 3$.

Vì $m \ge 3$ nên $m(m-3) \ge 0$ suy ra $P \ge 3$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m = 3.$

Hướng dẫn giải:

Đổi $1$ giờ $30$ phút = $1,5$ giờ.

Gọi vận tốc xe đạp của bạn Chiến là $x$ (km/h, $x > 0$)

Vận tốc của ô tô là $x + 35$ (km/h).

Quãng đường bạn Chiến đi bằng xe đạp là: $7x$ (km)

Quãng đường bạn Chiến đi bằng ô tô là: $1,5( x + 35)$ (km)

Do tổng quãng đường bạn Chiến đi là $180$km nên ta có phương trình:

$7 x + 1,5( x + 35) = 180 \Leftrightarrow 7 x + 1,5 x + 52, 2 = 180 \Leftrightarrow 8,5x = 127,5 \Leftrightarrow x = 15$ (thỏa mãn)

Vậy bạn Chiến đi bằng xe đạp với vận tốc là $15$ km/h.

Hướng dẫn giải:

a.

Ta có $\widehat{MOB} = \widehat{MHB} = 90^{\circ}$ (do $AB \perp MN$ và $MH \perp BC$).

$\Rightarrow \widehat{MOB} + \widehat{MHB} = 180^{\circ}$ nên $BOMH$ là tứ giác nội tiếp.

b.

$\Delta OMB$ vuông cân tại $O$ nên $\widehat{OBM} = \widehat{OMB}$ (1)

Tứ giác $BOMH$ nội tiếp nên $\widehat{OBM} = \widehat{OHM}$ (cùng chắn cung $\overset{\frown}{OM}$).

và $\widehat{OMB} = \widehat{OHB}$ (cùng chắn cung $\overset{\frown}{OB}$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OHM} = \widehat{OHB}$.

$\Rightarrow HO$ là tia phân giác của $\widehat{MHB} \Rightarrow \dfrac{ME}{BE} = \dfrac{MH}{HB}$ (3)

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta BMC$ vuông tại $H$, đường cao $MH$:

$HM^2 = HC.HB \Rightarrow \dfrac{HM}{HB} = \dfrac{HC}{HM}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{HC}{HM}$ (5) $ \Rightarrow ME.MH = BE.HC$.

c.

Vì $\widehat{MHC} = 90^{\circ}$ nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHC$ có đường kính $MC$.

$\Rightarrow \widehat{MKC} = 90^{\circ}$.

$MN$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{MKN} = 90^{\circ}$.

$\Rightarrow \widehat{MKC} + \widehat{MKN} = 180^{\circ}$ nên 3 điểm $C$, $K$, $N$ thẳng hàng. (*)

$\Delta MHC \sim \Delta BMC$ (g.g) $\Rightarrow \dfrac{HC}{MH} = \dfrac{MC}{BM}$.

Mà $MB = BN$ (do $\Delta MBN$ cân tại $B$) $\Rightarrow \dfrac{HC}{MH} = \dfrac{MC}{BN}$ cùng với (5) ta có $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{MC}{BN}$.

Mà $\widehat{EBN} = \widehat{EMC} = 90^{\circ} \Rightarrow \Delta MCE \sim \Delta BNE$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MEC} = \widehat{BEN}$ mà $\widehat{MEC} + \widehat{BEC} = 180^{\circ}$ (do $M$, $E$, $B$ thẳng hàng).

$\Rightarrow \widehat{BEC} + \widehat{BEN} = 180^{\circ} \Rightarrow C,E,N$ thẳng hàng (**).

Từ (*) và (**) suy ra 3 điểm $C$, $K$, $E$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: $x \ge 2$

Chuyển vế và bình phương hai vế:

$\sqrt{5x^2 + 27x + 25} - 5\sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 - 4}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5x^2 + 27x + 25} = \sqrt{x^2 - 4} + 5\sqrt{x+1}$

$\Leftrightarrow 5x^2 + 27x + 25 = x^2 - 4 + 25x + 25 + 10\sqrt{(x+1)(x^2-4)}$

$\Leftrightarrow 4x^2 + 2x + 4 = 10\sqrt{(x+1)(x^2 - 4)}$

$\Leftrightarrow 2(x^2 - x - 2) + 3(x+2) = 5\sqrt{(x+1)(x^2 - 4)}$

Đặt $a = \sqrt{x^2 - x - 2} \ge 0;$ $b = \sqrt{x+2} \ge 0$.

Phương trình trở thành $5ab = 2a^2 + 3b^2 \Leftrightarrow (a-b)(2a-3b) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a = b\\ & 2a = 3b\\ \end{aligned}\right.$.

+ Với $a = b$ thì $\sqrt{x^2 - x - 2} = \sqrt{x+2} \Leftrightarrow x^2 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 1-\sqrt5 \ \text{(loại)}\\ & x = 1+\sqrt5 \ \text{(thỏa mãn)}\\ \end{aligned}\right.$.

+ Với $2a = 3b$ thì $2\sqrt{x^2 - x - 2} = 3 \sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow 4x^2 - 13x - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \dfrac{13 + 3\sqrt{65}}8 \ \text{(thỏa mã)n}\\ & x = \dfrac{13 - 3\sqrt{65}}8 \ \text{(loại)}\\ \end{aligned}\right.$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1+\sqrt5$, $x = \dfrac{13 + 3\sqrt{65}}8$.